Formule de Taylor-Young

À mon avis, la bonne hypothèse, c'est que la fonction $f$ soit $n$ fois dérivable au point $x_0$, avec $n \in \mathbb N^*$ (ce qui suppose qu'elle soit $n-1$ fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant $x_0$), et c'est tout. Il s'agit d'une formule essentiellement locale, et poser des hypothèses à caractère global ne sert qu'à obscurcir le sens de ce théorème et à égarer la réflexion des étudiants.

Dans les classes préparatoires, on pose le plus souvent ces hypothèses superflues, c'est encore un signe du laisser-aller ambiant.

La formule de Taylor-Young se démontre comme un corollaire du théorème de primitivation des développements limités, qui est sans doute le théorème le plus important sur ce sujet, toujours avec les mêmes hypothèses uniquement locales.

Bonne journée, et bonne fête à tous les amoureux, Valentin & Valentine,
Fr. Ch.
14/02/2020

Oui Chaurien, d’ailleurs quand tu dis « ce qui suppose qu’elle est $n-1$ fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ » c’est justement ce qui m’avait bloqué il y a quelques années car ce n’était pas dit dans l’énoncé ni dans la démonstration.
Ou bien c’était suggéré sans justification.
Bien entendu en me creusant la tête j’ai compris que c’était le cas par définition de la dérivabilité.