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Formule de Taylor-Young

Envoyé par ajuma 
Formule de Taylor-Young
il y a sept semaines
Bonjour
je suis sur la formule de Taylor-Young pour une fonction f définie sur un intervalle I de R et à valeur dans R, en général les hypothèses pour l'ordre n (entier dans N) c'est f de classe Cn sur un intervalle I

Dans un livre je trouve la formule de Taylor-Young avec comme hypothèse f n fois dérivable sur I ou n est dans N* (donc f(n) pas continue)
la preuve utilise le TAF et a priori il ne me semble pas que la continuité de fn soit utilisée.
Du coup les hypothèses sont plus faibles que les hypothèses données en général ...
Quelqu'un pourrait il m'éclairer.
Merci d'avance.

[William Henry Young (1863-1942), tout comme Brook Taylor (1685-1731) prennent toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par ajuma.
Dom
Re: formule de taylor young
il y a sept semaines
En effet.
Pour Taylor-Young, il suffit d’avoir la dérivabilité à l’ordre $n$ sans que cette dérivée n-eme ne soit nécessairement continue.

On peut bien sûr utiliser une fonction $C^n$.
Re: formule de taylor young
il y a sept semaines
Merci Dom

Mais alors pourquoi la donner d'une manière quasi générale avec f de classe Cn ? qui est une hypothèse plus forte ?
Re: formule de taylor young
il y a sept semaines
avatar
Parce qu'à l'usage, on manipule la plupart du temps des fonctions qui le sont.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Formule de Taylor-Young
il y a sept semaines
À mon avis, la bonne hypothèse, c'est que la fonction $f$ soit $n$ fois dérivable au point $x_0$, avec $n \in \mathbb N^*$ (ce qui suppose qu'elle soit $n-1$ fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant $x_0$), et c'est tout. Il s'agit d'une formule essentiellement locale, et poser des hypothèses à caractère global ne sert qu'à obscurcir le sens de ce théorème et à égarer la réflexion des étudiants.

Dans les classes préparatoires, on pose le plus souvent ces hypothèses superflues, c'est encore un signe du laisser-aller ambiant.

La formule de Taylor-Young se démontre comme un corollaire du théorème de primitivation des développements limités, qui est sans doute le théorème le plus important sur ce sujet, toujours avec les mêmes hypothèses uniquement locales.

Bonne journée, et bonne fête à tous les amoureux, Valentin & Valentine,
Fr. Ch.
14/02/2020



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Chaurien.
Re: Formule de Taylor-Young
il y a sept semaines
Corriger le titre, SVP, majuscules et trait d'union, selon les recommandations d'AD.
Dom
Re: formule de taylor young
il y a sept semaines
Oui Chaurien, d’ailleurs quand tu dis « ce qui suppose qu’elle est $n-1$ fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ » c’est justement ce qui m’avait bloqué il y a quelques années car ce n’était pas dit dans l’énoncé ni dans la démonstration.
Ou bien c’était suggéré sans justification.
Bien entendu en me creusant la tête j’ai compris que c’était le cas par définition de la dérivabilité.
Re: Formule de Taylor-Young
il y a sept semaines
Chaurien écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

En fait, elle est n-1 fois dérivable dans un voisinage de x0 et f(n-1) est dérivable dans un voisinage de x0(et donc les dérivées d'ordre inférieur ou égal à n-1 sont continues)

la preuve que j'ai n'utilise pas les DL mais juste le théorème des accroissement finis.
En tout cas merci pour vos réponses



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
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