Fonction semi-continue inférieurement

Oui justement je suis conscient que ces deux définitions sont équivalentes, mais y a un petit détail qui me laisse de marbre et qui revient à ma question initiale. Reprenons d'abord la preuve de l'équivalence :

Si $f$ est s.c.i. au sens de ma définition, alors ayant fixé $x\in E$ et $\varepsilon>0$, en appliquant l'hypothèse à $a=f(x)-\varepsilon$ on trouve que $$f^{-1}(]f(x)-\varepsilon,+\infty])$$ est un ouvert, qui contient manifestement $x$. Donc il existe $\eta$ tel que si $y\in B(x,\eta)$ alors $f(y)>f(x)-\varepsilon$ (en particulier on a l'inégalité large), d'où $f$ est Corto-s.c.i (partout sur $E$).

Inversement, si $f$ est Corto-s.c.i. (en tout $x\in E$), alors ayant fixé $a\in \mathbb{R}$ et $x\in f^{-1}(]a,+\infty])$, on applique l'hypothèse à $\varepsilon=f(x)-a>0$, on en déduit une boule $B(x,\eta)$ dans laquelle $$f(y)>f(x)-(f(x)-a)=a$$Ainsi $B(x,\eta)\subset f^{-1}(]a,+\infty])$ et $f^{-1}(]a,+\infty])$ est ouvert, d'où $f$ est s.c.i. au sens de ma définition.

Le détail : et si $x$ était d'image $+\infty$ ? Je suppose que si c'est le cas alors, $f(x)-\varepsilon=+\infty$
Pour moi il faut donc une inégalité large, pour avoir des choses du type $+\infty\geqslant+\infty$.