Exercices : max min sup inf
Je l'ai dit et redit plusieurs fois depuis que je suis sur ce forum. Les calculs d'analyse réelle, je trouve ça chiant. J'ai réussi à survivre aux semestres où on faisait de l'analyse réelle pendant mes études, et après j'ai essayé de ne pas y retoucher. Mais je ne peux pas renoncer à me vacciner éternellement, donc...
[size=x-small]Profonde inspiration[/size]
Bon.
Si vous avez des exercices "classiques", "bons à avoir faits au moins une fois", ou carrément des feuilles de TD de première année avec des exercices de calculs de $\max$, $\min$, $\sup$, $\inf$ dans $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$... balancez. J'ai regardé ce qu'il y a dans mes bouquins, rien de difficile, et pas assez.
[size=x-small]Profonde inspiration[/size]
Bon.
Si vous avez des exercices "classiques", "bons à avoir faits au moins une fois", ou carrément des feuilles de TD de première année avec des exercices de calculs de $\max$, $\min$, $\sup$, $\inf$ dans $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$... balancez. J'ai regardé ce qu'il y a dans mes bouquins, rien de difficile, et pas assez.
Réponses
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À la fois classique mais aussi où l’on peut sécher un peu et s’emmêler les pinceaux : les liminf et limsup pour les suites et les premières propriétés. Un sujet d’agrégation interne commençait pas ça (2011 ou 2012 ou 2013).
J’imagine que des pdf proposent les mêmes choses que dans ce sujet. -
Bonjour,
Ne me dites pas que j'arrive après la bataille car la bataille n'a pas eu lieu ! Je n'avais pas répondu à ce fil car je pensais que d'autres auraient de bons exercices à donner (je ne vais pas citer de nom pour ne pas embarrasser, mais je pense notamment à un intervenant qui partage régulièrement de bons exercices de colle), puis j'ai oublié ce fil. Mais Homo Topi viens de l'évoquer, donc voici finalement quelques exercices.
1/ Soit $A = \{\sum_{i\neq j} x_ix_j \mid (x_1,\dots,x_n)\in [0,1]^n, \sum_{i=1}^n x_i=1\}$. Calculer $\inf A$ et $\sup A$.
2/ Calculer $\displaystyle \inf_{(x_1,\dots,x_n)\in\Bbb R_+^*} \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\left( \sum_{i=1}^n \frac1{x_i}\right)$.
$[\dagger]$ 3/ Lemme de Fekete : Soit $(u_{n} )\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ telle que : $\forall (n,m),u_{n+m} \leqslant u_{n} +u_{m}$. Montrer que $\frac{u_{n} }{n} \longrightarrow \inf \{ \frac{u_{n} }{n} \mid n\in \mathbb{N}\}$ dans $\overline{\Bbb R}$.
$[\dagger]$ 4/ Soient $E$ un $\Bbb R$-ev euclidien de dimension $n$, $u\in S(E)$ de valeurs propres $\lambda_1\leqslant\dots\leqslant\lambda_n$, $S=\{x\in E\mid\|x\|=1\}$ et, pour tout $k\in[\![0,n]\!]$, $\mathcal G_k$ l'ensemble des sev de $E$ de dimension $k$. Montrer que : $\displaystyle\forall k\in[\![0,n]\!], \lambda_k = \inf_{F\in \mathcal G_k}\sup_{x\in F\cap S} \langle u(x),x\rangle$. (L1/L2)
PS: Il faut raviver les fils parfois quand on n'a pas de réponse, ça peut débloquer (sans tomber dans le harcèlement). -
Salut Homo Topi, en admettant la complétude de $\mathbb{R}$, tu peux prouver que toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.
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D'autres exos sur les autres thèmes évoqués dans l'autre fil.
5/ Trouver une fonction $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $ dominée par tous les $x^\alpha$ et dominant tous les $(\ln(x))^\beta$ en $+\infty$ avec $\alpha,\beta>0$ ("dominer" au sens $o(...)$ ou $O(...)$, peu importe).
6/ Soit $y : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ dérivable. On suppose que $y$ a une limite en $+\infty$ et qu'il existe $a,b \in\mathcal{C}(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$ tels que $y' = a + b$, $a$ est uniformément continue et $b(t) \underset{x \to \infty}\longrightarrow 0$. Montrer que $y'(t) \underset{x \to \infty}\longrightarrow 0$.
$[\dagger]$ 7/ Soient $f,g \in \mathcal C([0,1],[0,1])$ telles que $f\circ g = g \circ f$. Montrer que : $\exists a, f(a) = g(a)$.
$[\dagger]$ 8/ Soit $\alpha >0$. Décrire les $f\in \mathcal{C}(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)$ de carré intégrable telles que $f(x)\cdot \int _{x} ^{\infty } f^2(t)\,\mathrm{d}t \sim \frac{1}{x^{\alpha }}$. (L1/L2)
$[\dagger]$ 9/ Soient $x_{0} >0$ et $x_{n+1} =x_{n} + \frac{1}{x_{n}}$. Trouver un équivalent de $(x_{n} )$.
$[\dagger]$ 10/ Soit, pour tout $n\geqslant 1$, $x_{n}$ l'unique solution positive de $\sum_{k=1}^n x_{n} ^{k} =1$ (vérifier l'existence et l'unicité). Montrer que $(x_{n} )$ converge, puis trouver le terme suivant de son développement asymptotique. -
Comme promis voici ma contribution, juste un exo car il y en a déjà assez.
EXERCICE 11
Déterminer où la fonction $h:]0,1[\rightarrow \mathbb{R}$ suivante est continue :
$$h(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{si } x \notin \Q \\
\frac{1}{b} & \mbox{si } x=\frac{a}{b} \mbox{avec} \frac{a}{b} \mbox{irréductible}
\end{array}
\right.
$$ -
Je me suis rendu compte que j'avais sauté le numéro 5, donc j'ai ajouté un exo pour combler le trou. Et j'ai rajouté des croix $[\dagger]$ devant les exos que je considère plus durs. Je donne plein d'exos pour que tu puisses choisir ce que tu veux, rien ne te force à les faire tous évidemment.
12/ Soit $f:\Bbb R\to\Bbb R$. Montrer qu'elle admet un nombre dénombrable d'extrema locaux. Autrement dit, montrer que $$\{ m\in\Bbb R \mid \exists a<b, (\exists x\in\,]a,b[,f(x)= m) \text{ et } [ (\forall x\in\,]a,b[,f(x)\leqslant m)\text{ ou } (\forall x\in\,]a,b[,f(x)\geqslant m)] \} $$ est dénombrable.
13/ Soit $f:\Bbb R\to\Bbb R$ croissante. Montrer que son nombre de points de discontinuité est au plus dénombrable.
$[\dagger]$ 14/ Soit $f:\Bbb R\to\Bbb R$ qui admet une limite à droite et à gauche en tout point. Montrer que son nombre de points de discontinuité est au plus dénombrable.
Edit tardif : J'ai rajouté l'exo 13 à faire de préférence avant de s'attaquer au 14. -
Il y a celui là http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1976838
Dans le polycopié de Michel Gonnord spéciale oral MP* 2011 voir
Exercice 1.2.2 page 3
Exercice 1.3.5 page 5
Exercice 1.3.6 page 6
Exercice 1.4.1 page 6
Exercice 1.4.3 page 7
http://michel.gonnord.free.fr/problemes-corriges/Annee-2010-2011/Oral 2011.pdf
Dans le polycopié de Michel Gonnord spéciale oral MP*2007 voir
Les exercices suivants
2.2.2 page 7
4.2.5 page 15
4.2.9 page 16
http://michel.gonnord.free.fr/problemes-corriges/Annee-2011-2012/Oral 2007.pdf
Dans le polycopié suivant
1.2.1page 3
2.2.2. page 10
http://michel.gonnord.free.fr/problemes-corriges/Annee-2011-2012/Oral 2008.pdf
Dans le polycopié suivant
1.3.1 page 6
http://michel.gonnord.free.fr/problemes-corriges/Annee-2011-2012/Oral 2009.pdf
Dans le polycopié suivant
1.2.1 page4
1.3.1 page 6
1.4.2 page 7
http://michel.gonnord.free.fr/problemes-corriges/Annee-2011-2012/Oral 2010.pdf -
Merci les gens !
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A voir exercices https://igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr/td/1314/td1-cor.pdf
Aussi l’exercice 30 de http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00092.pdf#page5
Dans le fichier suivant https://www.dunod.com/sites/default/files/atoms/files/9782100700936/Feuilletage.pdf
Exercices 3 et 4 page 8 ; exercice 6 page 9 ; exemple II.15 page4 ; exemple III.2 page6
Dans le polycopié suivant
https://paestel.fr/sites/default/files/Mat_les_ressources/L3, M1/Cours/R. Texier-Picard_489.pdf
La fonction jauge page 15 ; projection sur un convexe fermé page 18 ;Hahn-Banach page 28 -
@Homo Topi : Je me souviens de mon cours d'analyse en L1, où le prof a démontré l'existence des racines $n$-èmes, de la façon suivante : soit $\alpha$ un réel positif, $n$ un entier naturel non nul. Soit $\beta$ le sup de l'ensemble formé des réels $x$ tels que $x^n < \alpha$. Montrer que $\beta^n = \alpha$. J'ai été impressionné, à l'époque, parce qu'il y avait des calculs qui me semblaient très cryptiques ! Je ne sais pas exactement de quelle façon, mais je crois que ça m'a marqué.
Et sinon, la construction de $\mathbb{R}$ comme coupures de Dedekind, et démontrer que les opérations qu'on fait dessus forment bien un corps, c'est pas mal comme exercice, à mon avis.
Mais j'avoue que je ne suis pas sûr que ce soit ce genre d'exos qui t'intéresse. Tu peux préciser ? -
Eh ben ! Je vais être occupé longtemps avec tout ça !
Georges : d'un côté, je connais déjà une construction de $\mathbb{R}$, donc je ne sais pas... d'un côté ça sera rendondant, mais en même temps, deux preuves d'un même résultat peuvent nous apprendre des choses aussi. Disons que pour l'instant, je cherche juste des exercices qui me donneront plus d'aisance avec les $\max$ $\min$ $\sup$ $\inf$, parce que dès que j'en vois quelque part, j'ai un peu un réflexe de "oh non pas ça au secours". -
Calli écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1940756,1980054#msg-1980054
> $[\dagger]$ 3/ Lemme de Fekete : Soit $(u_{n} )\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ telle que : $\forall (n,m),u_{n+m} \leqslant u_{n} +u_{m}$.
> Montrer que $\frac{u_{n} }{n} \longrightarrow \inf \{ \frac{u_{n} }{n} \mid n\in \mathbb{N}\}$ dans $\overline{\Bbb R}$.
Il y a une version plus exotique.
Soit $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ telle que $f(n)\leq f(n-k^2)+f(k^2)$ pour tout $(n,k): 0\leq k^2\leq n$ Alors : $$\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n}=\inf_{k\in\mathbb{N}}\frac{f(k^2)}{k^2}$$ -
Bon ! Alors. Pour montrer que je ne mens pas quand je dis que je mets quelque chose de côté jusqu'à ce que j'aie le temps, je reviens ici.
J'ai fait la première question de Calli "dans les coulisses", parce que j'ai vu qu'un de nos réguliers favoris avait essayé de faire l'exercice à ma place (et apparemment a réussi, je n'ai pas regardé le reste du fil quand j'ai vu le premier message) et donc je ne voulais pas le faire ici pour qu'on vienne me dire que l'exercice avait déjà été résolu.
Bon.
Exercice 2/ de Calli :
$\displaystyle \Big( \sum_{k=1}^n x_k \Big)\Big( \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k} \Big) = n + \sum_{i < j} \Big( \dfrac{x_i}{x_j} + \dfrac{x_j}{x_i} \Big)$, la somme à droite contenant $\dfrac{n^2 - n}{2}$ termes.
En étudiant la fonction $x \longmapsto x + \dfrac{1}{x}$ sur $]0; \infty[$, on trouve qu'elle atteint son minimum (qui vaut $2$) quand $x=1$.
Donc $\displaystyle \sum_{i < j} \Big( \dfrac{x_i}{x_j} + \dfrac{x_j}{x_i} \Big)$ est minimale quand tous les $x_k$ sont égaux, et dans ce cas, elle vaut $2\times \dfrac{n^2 - n}{2} = n^2 - n$.
Donc le $\inf$ cherché est $n + n^2 - n = n^2$.
EDIT : Merci à MC de m'avoir signalé une erreur de notation en privé. -
J'ai fait le premier avec C-S (après avoir reçu un indice) mais là je ne vois pas.
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Remarque : $x+\frac1x \geqslant 2$ est aussi donnée par l'IAG pour deux nombres, ou bien l'inégalité $ab\leqslant \frac12 (a^2+b^2)$ (c'est la même chose en fait).
Si tu veux un peu continuer sur les max et min :
15/ Soient $a,b,c>0$. Calculer $\min\{ax+by+\frac{c}{xy}\mid x,y>0\}$ et trouver les $(x,y)$ qui réalisent le minimum.
Edit : $bx$ remplacé par $by$. Merci Math Coss. -
IAG ?
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inégalité arithmético-géométrique
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Je viens de la chercher sur Wikipédia : je n'en avais jamais entendu parler. Ça m'a donné une idée pour lancer un autre fil.
EDIT : ça ne me dit toujours pas comment bisam démontre le 2/ avec Cauchy-Schwarz. J'essaie de comprendre mais je ne vois pas comment il fait, j'ai l'impression qu'il n'utilise pas la norme euclidienne (il n'y a pas de carrés dans les sommes ou autour) et je n'en connais pas beaucoup d'autres qui sont associées à un produit scalaire. -
CS (aka Cauchy-Schwarz) c'est $\left(\sum a_i b_i\right) ^2 \leqslant \left(\sum a_i^2\right) \left(\sum b_i^2\right) $. Clairement le membre de droite doit coïncider avec $ \left(\sum x_i\right) \left(\sum \frac1{x_i}\right)$. Donc comment choisir les $a_i$ et $b_i $ ?
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On pose $a_i = \sqrt{x_i}$ et $b_i = \sqrt{\dfrac{1}{x_i}}$, et du coup c'est plus grand que $ \displaystyle \Big( \sum 1 \Big)^2 = n^2$. Du coup, pour pouver que c'est bien le $\inf$, il suffit de montrer que la valeur $n^2$ est effectivement atteinte, ce qui est le cas.
Personnellement, je trouve ma solution beaucoup moins "bidouille" et plus "naturelle" que celle là, même si celle-là est plus courte. -
Du coup la réponse à "il n'y a pas de carrés dans les sommes ou autour" est : force les carrés à apparaître. Tu vois un produit de sommes à minorer, ça ressemble à CS, alors débrouille-toi pour te raccrocher à CS (peut-être que tu n'obtiendra pas une minoration suffisante, ça dépend de l'exercice, mais tu auras une minoration). C'est courant en analyse qu'il faille "forcer les choses" comme ça.
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Au passage CS est vraiment une inégalité extrêmement puissante. Elle est fondamentale dans beaucoup de domaines. Je connais des gens qui disent qu'on peut faire une carrière en utilisant que cette inégalité. ;-)
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Le 3/ me pose une colle. Je pense que la petite croix sert à indiquer qu'il est plus difficile.
Si $u_{n+m} \leqslant u_n + u_m$, on trouve que $u_n \leqslant n u_1$, et donc $\Big( \dfrac{u_n}{n} \Big)_n$ est majorée par $u_1$... mais majorer, ça ne me sert pas à grand-chose.
Sinon, qu'est-ce qu'on peut dire... $u_{n+1} \leqslant u_n + u_1$, donc $u_{n+1} - u_1 \leqslant u_n$. Donc si $u_1 \leqslant 0$, la suite $(u_n)_n$ est décroissante. Si $u_1 \geqslant 0$, aucune idée. En plus, sans connaître le signe des $u_n$, je ne peux pas en déduire les variations de $\Big( \dfrac{u_n}{n} \Big)_n$. -
Regarde ce que tu peux faire avec des divisions euclidiennes sur les indices (les $n$).
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On trouve que $u_{mn} \leqslant m u_n$ ou $u_{mn} \leqslant n u_m$ et donc même que $u_{mn} \leqslant \min(m u_n; n u_m )$, je ne sais pas si la deuxième sert à quelque chose.
Plus généralement : $u_{mn+d} \leqslant m u_n + u_d$ ou $n u_m + u_d$. Hm... -
Franchement, je n'ai pas la moindre idée comment continuer/commencer. $\epsilon$ quoi ?
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Soit $\ell=\inf\frac{u_n}{n}$, qui est la limite présumée. Ton but est de montrer que pour tout $\epsilon>0$ et pour $N$ assez grand (en fonction de $\epsilon$), $\ell\le \frac{u_N}N\le \ell+4\epsilon$ (le $4$ est arbitraire). Or tu viens de montrer que \[\ell\le \frac{u_{mn+d}}{mn+d}\le \frac{u_n}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{d}{mn}}+\frac{u_d}{mn+d}\] où $m$ et $n$ sont quelconques et $d<n$. Il s'agit de voir comment choisir $n$, puis $m$.
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Je suis complètement paumé... je suis d'accord qu'on arrive à cette inégalité, et qu'on veut l'encadrer par $l$ et $l+$ une fonction de $\epsilon$ qui tend vers $0$ avec $\epsilon$.
Mais là j'ai trois variables... pourquoi travailler sur $n$ en premier ? Comment faire en sorte de fixer $n$ par rapport à $\epsilon$ mais indépendamment de $m$ et $d$ ? Comment transformer le $\dfrac{u_n}{n} \times \text{machin}$ en un $\inf$ ? Par un $\sup$ je comprendrais mais par un $\inf$ ? Et pour trouver une fonction de $\epsilon$ qui majore $\dfrac{u_d}{mn+d}$, je ne sais pas non plus.
Au secours. -
Par définition de l'inf, tu peux choisir un $n$ tel que $\frac{u_n}{n} \leq l +\varepsilon$. Ça te laisse un nombre fini de valeurs de $d$, et alors pour tous les $m$ assez grand, tu peux réaliser l'encadrement $l \leq \frac{u_{mn+d}}{mn+d} \leq l + 2\varepsilon$ pour tous les $d < n$, autrement dit pour tous les $N$ assez grand, $l \leq \frac{u_N}{N} \leq l +2\varepsilon$.
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J'ai lu uniquement la première phrase de ton message, exprès.
C'est une caractérisation de la borne $\inf$ que je ne retiens pas, à laquelle je ne pense pas immédiatement. -
Bon, alors, attends, juste que je ne m'embrouille pas.
La borne $\inf$ me dit qu'il existe [size=x-large]un[/size] indice, que je vais appeler $n_0$ pour le distinguer d'un $n$ quelconque ou du $N$ "assez grand" qui va donner la limite, tel que $\dfrac{u_{n_0}}{n_0} \leqslant l+ \epsilon$. On va donc écrire tout $n$ comme $mn_0+d$ avec $d < n_0$.
On a donc, pour tous $m$ et $d < n_0$ :
$l \leqslant \dfrac{u_{mn_0+d}}{mn_0+d} \leqslant (l+\epsilon)\cdot \dfrac{1}{1+\frac{d}{mn_0}} + \dfrac{u_d}{mn_0+d}\leqslant l+\epsilon + \dfrac{u_d}{mn_0+d}$, la dernière inégalité venant du fait que $\dfrac{d}{mn_0} \geqslant 0$.
Reste à trouver comment majorer le reste par du $\epsilon$... j'essaie de ne pas encore regarder les indications. -
Tu es sur la bonne voie. :-) Indice en blanc :
Puisque $n_0$ est fixé, $d$ est borné. -
C'est un peu plus facile d'être sur la bonne voie depuis qu'on m'a dit "fais la division euclidienne des indices". Je n'aurais jamais pensé à faire ça pour avancer dans le problème. Je ne sais même pas si j'aurais trouvé tout seul que la limite doit être l'$\inf$. Je suis souvent bouche bée face à un résultat d'analyse à cause du facteur "mais comment il a trouvé cette bidouille ?"
Je teste un truc rapidement : on avait dit que la suite $\Big( \dfrac{u_n}{n}\Big)_n$ est majorée par $u_1$, donc on peut essayer d'écrire
$\dfrac{u_d}{mn_0+d} = \dfrac{u_d}{d\cdot (1 + \frac{mn_0}{d})} \leqslant u_1 \cdot \dfrac{1}{1+ \frac{mn_0}{d}} $, et après essayer de bidouiller $m$ pour caler un $\epsilon$, mais ça m'a l'air assez bancal et il y a plein de nombres pour lesquels $d$ devra valoir $0$ aussi...
Je résiste à la tentation des indices pour l'instant, je retourne réfléchir. -
Nan mais je suis bête.
$\dfrac{u_d}{mn_0+d} \leqslant \dfrac{u_d}{mn_0+d} \leqslant \dfrac{U}{mn_0}$ avec $U = \max(u_1,...,u_{n_0-1})$.
Du coup, on veut $\dfrac{U}{mn_0} \leqslant \epsilon$, tout est fixé sauf $m$, donc on trouve $m \geqslant \dfrac{U}{n_0 \epsilon}$ pour que ça marche.
Alors $N = mn_0+d$ doit être plus grand que $\dfrac{U}{\epsilon}+d$, on peut se débarrasser du $d$ (qui peut varier) en prenant $N = Ent \Big(\dfrac{U}{\epsilon}\Big)+1+n_0$. -
Pour le 5/ : j'ai commencé par la version $o$. J'ai pensé à la fonction $f(x)=x\ln(x)$, elle résout la majorité des cas assez simplement avec les croissances comparées, mais les cas $\alpha \leqslant 1$ ne se résolvent pas avec une croissance comparée...
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Tu devrais te rendre compte qu'une fonction vérifie l'énoncé pour les $o$ si et seulement si elle les vérifie pour les $O$, donc ne te prends pas la tête sur la distinction entre les deux.
Ton exemple ne marche bien sûr pas, et tu te rends sûrement compte que même en bidouillant la puissance de $x$ ça ne va pas résoudre le problème. À toi de voir à quel niveau "plus fin" tu peux jouer. -
entre les $o$ et les $O$, il y a quand même une légère différence de quantificateur (un $\forall$ qui devient un $\exists$) donc non, ça ne me paraît pas évident du tout qu'il y a équivalence. Une implication dans un sens, oui, dans l'autre, je ne sais pas...
-
Si $f(x) = o(x^{\alpha})$ quand $x \to +\infty$ alors $f(x) = O(x^{\alpha})$ au voisinage de $+\infty$. Réciproquement, si $f(x) = O(x^{\alpha})$ alors $f(x) = o(x^{\alpha + \varepsilon})$ quand $x \to +\infty$ pour n'importe quel $\varepsilon > 0$.
Même raisonnement pour les minorations. -
D'accord.
-
Pour être dominée par tous les $x^{\alpha}$, j'ai trouvé qu'il suffit que $f$ soit bornée (par exemple, par $1$), mais une fonction bornée ne peut pas dominer tous les $\ln(x)^{\beta}$, donc il faut que je trouve quelque chose d'un peu moins brutal. J'avais pensé à $x \ln(x)$ au départ parce qu'il me faut un truc qui soit croissant, mais pas trop rapidement, et ça avait l'air de bien marcher, mais ça ne marche pas.
Bon. Réfléchissons, réfléchissons. -
Je suis mécontent de moi pour ça, mais je vais demander un indice.
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Écris les deux "encadrants" $(\ln x)^{\beta}$ et $x^{\alpha}$ sous forme exponentielle pour trouver quelque chose qui croît plus vite que le premier, et plus lentement que le second, indépendamment de $\alpha$ et $\beta$.
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J'avais déjà écrit les deux sous forme exponentielle, mais ça ne m'avait pas inspiré.
L'idée c'est donc qu'il me faut (avec les bons quantificateurs...), pour $x$ assez grand : $\dfrac{1}{\epsilon} e^{\beta \ln(\ln(x))} \leqslant |f(x)| \leqslant \epsilon e^{\alpha \ln(x)}$
Hm... -
Et si tu cherchais $f(x)$ sous forme exponentielle ?
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Non mais, j'ai très bien compris que c'est ça qu'il faut faire, mais je ne vois pas quoi mettre dans l'exponentielle. Si $x \ln(x)$ ne fonctionne pas, je ne sais pas. J'ai du $\ln(x)$ à droite, du $\ln(\ln(x))$ à gauche, ça m'aurait paru logique de mettre $\ln(x\ln(x))$ entre les deux mais ça ne marche pas.
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C'est l'heure du changement de variable $y = \ln x$ alors ! Qu'est-ce qui croît plus vite que $\beta \ln y$ et plus lentement que $\alpha y$ (pour tous $\alpha, \beta > 0$) ?
-
Justement, je ne vois pas ! Pas besoin de changement de variable, je voyais très bien que c'est ça qu'il faut faire même s'il y a des logarithmes imbriqués (le question est "qu'est-ce qu'il faut mettre dans le logarithme le plus externe", c'est pareil) mais je ne sais juste pas !
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