J'ai besoin d'un peu d'indications comme ça, je pense. J'ai vraiment du mal à comprendre comment attaquer ce genre de problème en analyse. J'ai combien d'hypothèses ?
- $y$ est dérivable
- $y$ admet une limite finie
- $y'$ est somme d'une fonction uniformément continue et d'une fonction de limite nulle
Du coup, j'ai 4 trucs à exploiter pour trouver le résultat. $y$ dérivable, ça me donne potentiellement des théorèmes valables sur les intervalles compacts, donc aucune information globale. $y$ admet une limite finie, ça me donne juste des $\epsilon$ à bidouiller. $a$ uniformément continue, je n'ai aucun théorème qui m'a l'air exploitable ici sur la continuité uniforme dans mon cours, et $b$ de limite nulle ça me donne encore une fois juste des $\epsilon$ à bidouiller. J'ai déjà plein de choses à écrire, mais je finis par avoir tellement de lettres à manipuler que je perds le fil de comment démontrer quoi.
Voilà comment moi j'ai abordé le problème : $y'=a+b$, et $b$ tend vers $0$, donc la limite de $y'$, si elle existe, c'est celle de $a$. Donc, d'accord, il faut montrer que $a$ admet une limite. Comme $a$ est uniformément continue, on peut effectivement "contrôler" les accroissements de $a$. Mais à partir de là... comment utiliser que $y$ a une limite finie pour trouver quelque chose ? Puisque la limite des $\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}$ est $a(t)+b(t)$, je me suis demandé ce que je pouvais dire sur $f(t+h)-f(t)$, mais je voulais relier $\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}$ et $a(t)+b(t)$ sans passer à la limite. Aucune idée comment faire ça, et utiliser la continuité uniforme de $a$, ça aurait fait apparaître une variable de plus, puisque c'est des trucs qui contiennent du $a(t)-a(s)$ par exemple.
mais je voulais relier $\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}$ et $a(t)+b(t)$ sans passer à la limite.
Bah tu l'as déjà fait, c'est le théorème des accroissements finis. Sauf que tu n'obtiens pas $a(t)+b(t)$ mais $a(u)+b(u)$ pour un certain $u \in ]t, t+h[$. C'est là que les accroissements de $y'$ (et donc essentiellement de $a$), entrent en jeu !
Ah, oui, je crois que je comprends la logique : le TAF m'a donné une info très localisée, et la seule hypothèse qui peut me permettre d'étendre cette information est la contintuité uniforme de $a$.
Bon. On verra après pour ce qui est nécessaire ou pas. J'ai compris la logique de la preuve, j'ai encore besoin de découper les $\epsilon$ correctement. J'ai été un peu occupé, je vais essayer de finir ça ce weekend.
Soit $\epsilon > 0$ fixé. Pour ce $\epsilon$, il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout $t > \eta$ et tout $h > 0$, il existe $u \in ]t;t+h[$ tel que $h|y'(u)| \leqslant 2 \epsilon$.
Puisque Poirot parlait du "$u$ le plus proche", je pense qu'il faut fixer une valeur pour $h$. Pour le $\epsilon$ qu'on s'est fixés, la continuité uniforme de $a$ s'écrit : il existe $\delta > 0$ tel que pour tous $s,t$, si $|s-t| \leqslant \delta$, alors $|a(s)-a(t)|< \epsilon$. Si je remonte dans la ligne ci-dessus en fixant $h=\delta$, qu'est-ce que ça me donne ?
Soit $\epsilon > 0$ fixé. Pour ce $\epsilon$, il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout $t > \eta$, il existe $u \in ]t;t+\delta[$ tel que $|y'(u)| \leqslant \dfrac{2\epsilon}{\delta}$. Et de même, pour tout $v \in ]t;t+\delta[$, on a $|a(u)-a(v)| \leqslant \epsilon$. Mais il faut encore réussir à recoller les morceaux...
$y'(v) = y'(u) + a(v) - a(u) + b(v) - b(u)$ et donc $|y'(v)| \leqslant |y'(u)| + |a(v)-a(u)| + |b(v)-b(u)| \leqslant \dfrac{2 \epsilon}{\delta} + \epsilon + 2 \epsilon$. Au passage, j'ai brutalement majoré $|b(v) - b(u)|$ en supposant que le $\eta$ choisi correspond aussi à celui qui rend $b$ assez petite (petit coup de $\max$, rien d'illicite).
Donc à la réécriture près, pour tout $\epsilon ' > 0$, on a : $|y'(v)| \leqslant \epsilon '$ sur $]t;t+\delta[$.
J'essaierai de terminer plus tard, il ne doit plus manquer grand-chose.
Hmmmm... rien ? J'ai minoré par un $\epsilon$ sur un intervalle de longueur $\delta$ qui commence à $t$, mais je peux faire ça pour tout $t$ assez grand... donc c'est fini ?
Je n'ai pas vraiment réussi l'exercice tout seul, mais au moins je n'ai pas juste essayé de comprendre un corrigé, je suis... assez content, c'est un petit début. Plus que 45 exercices :-D
Pour le 9/, je suis un peu perplexe. La suite est définie par $x_{n+1} = f(u_n)$, où $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$. On peut montrer que $f(x) \simeq x$ quand $x \longmapsto \infty$, donc on devrait avoir $x_n \simeq n$ directement, non ? En dessinant la suite, ça a l'air de coller...
Je pense que j'ai compris mon erreur (flemme de détailler et de sortir GeoGebra pour expliquer avec un dessin).
En tout cas les termes de la suite se rapprochent de plus en plus, donc elle croît en ralentissant, donc pour répondre à ta question, il faut $\alpha < 1$.
Sommation des relations de comparaison : si $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n$ avec $u_n$ de signe constant à partir d'un certain rang et $\sum_n u_n$ qui diverge, alors $\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \to +\infty}{\sim} \sum_{k=0}^n v_k$. Ici $u_n = x_{n+1} - x_n$ et $v_n = \frac{1}{n}$.
Je ne sais pas trop comment attaquer le problème. Pour l'instant, tout ce que je sais, c'est que la suite $x_{n+1} = x_n + \dfrac{1}{x_n}$ tend vers l'infini (car $x_0 > 0)$. Je sais aussi que si $n^{\alpha}$ est censé être un équivalent, alors il faut que $\alpha < 1$. Je ne sais pas trop quoi d'autre extraire de la suite, ni de l'étude de $f : x \longmapsto x + \dfrac{1}{x}$. Bon, alors, j'essaie de sortir les $\epsilon$.
Je veux voir si je peux trouver $\alpha < 1$ tel que : $\forall \epsilon > 0$, $\exists N > 0$, $\forall n \geqslant N$ : $-\epsilon n^{\alpha} \leqslant |x_n - n^{\alpha}| \leqslant \epsilon n^{\alpha}$.
La seule idée que j'ai maintenant, c'est que le $\forall n \geqslant N$ me permet de dire : si c'est vrai pour $x_n$, alors ça doit être vrai pour $x_{n+1}$, donc pour $x_n + \dfrac{1}{x_n}$. Donc en gros, je veux : $-\epsilon n^{\alpha} \leqslant |x_n - n^{\alpha}| \leqslant \epsilon n^{\alpha}$ et $-\epsilon n^{\alpha} \leqslant |x_n + \dfrac{1}{x_n} - n^{\alpha}| \leqslant \epsilon n^{\alpha}$.
Pour trouver quoi faire avec ça, je réfléchis encore.
Quand $x_{n+1}\sim x_n$ on peut chercher $\alpha $ tel que $x_{n+1}^\alpha -x_n^\alpha $ tende vers une limite finie non nulle puis utiliser Cesàro. Ici $\alpha =2$ est immédiat .
2) Pourquoi chercher un $\alpha$ tel que $x_{n+1}^{\alpha} - x_n^{\alpha}$ tend vers une limite finie ? Et même si je savais pourquoi faire ça, pourquoi prendre $2$ comme exposant ?
3) Comment ça utiliser Cesàro ? Il n'y a aucune somme ici...
$x_n$ tend vers l'infini, comme tu l'as dit . Donc $x_{n+1}-x_n$ tend vers 0 .et il y a donc l' équivalence …
Soit $u_n=x_{n+1}^2-x_n^2$ .
$u_n $tend vers 2 .On en déduit que $\frac{1}{n} \Sigma _1^n u_k$ tend vers 2.
$x_{n+1} - x_n$ qui tend vers $0$, je l'ai "vu" sur GeoGebra mais je ne l'ai pas prouvé. Il faudrait d'abord le faire. Il y a plein de suites qui tendent vers l'infini sans que leurs termes consécutifs se rapprochent, par exemple la suite des $(2^n)_n$...
En fait, je n'ai pas prouvé que la suite tend vers l'infini... elle est strictement croissante, donc il suffirait de montrer qu'elle n'est pas majorée. Soit $M$ un entier tel que $x_n \leqslant M$ pour tout $n$, alors $\dfrac{1}{x_n} \geqslant \dfrac{1}{M}$ pour tout $n$. Alors, quel que soit $n$ : $x_{n+M^2} \geqslant x_n + \dfrac{M^2}{x_n} \geqslant x_n + M > M$, ce qui est absurde.
La suite est croissante, si elle était majorée elle aurait une limite $\ell$ qui, par continuité de la fonction, vérifierait $\ell=\ell+1/\ell$ donc la suite n'est pas majorée et tend vers $\infty$.
Je ne sais pas si c'est "naturel", mais c'est assez classique pour trouver un équivalent de suite définie par
$x_{n+1}=f(x_n)$, où $f$ est suffisamment dérivable et, en supposant que la limite est 0 (quitte à s'y ramener) et que $f'(0)=1$.
Par exemple $x_{n+1}=\sin(x_n)$ ou $x_{n+1}=\ln(1+x_n)$.
Dans ces cas là, bien sûr $\alpha <0$.
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. AD]
La limite de la suite ...
J'étais prof en spé, j'ai vu des études de recherche d'équivalents de terme général de suites récurrentes dans plusieurs problèmes de concours et je posais régulièrement un exercice de ce type dans mes feuilles d'exercices en indiquant la méthode .
Exercice taupinal ! :-D
Tu veux dire la suite des différences de termes consécutifd $x_{n+1} - x_n$ tend vers $0$, ou la suite des $x_{n+1}^{\alpha} - x_n^{\alpha}$ avec un $\alpha$ qu'il faut d'abord penser à avoir l'idée de se demander s'il existe, puis magiquement le trouver ?
Je trouve ça dingue de dire qu'un truc est censé être "classique" avec des hypothèses aussi précises. La suite doit tendre verd $0$, $f$ doit être de classe je sais pas combien, et si $f'(0)$ vaut n'importe quoi d'autre que $1$, ça ne marche plus.
Je peine à voir l'intérêt d'un exercice pareil et de sa résolution...
Si $x_n \approx f(n)$ pour une fonction $f$ assez gentille, alors $f(n+1) \approx f(n) + \frac1{f(n)}$.
Avec l'approximation de Taylor $f(n+1) \approx f(n) + f'(n)$, on en vient à chercher $f$ telle que $f'(n) = \frac1{f(n)}$.
Je t'avais suggéré de chercher un $\alpha$ crédible tel que $x_n \approx n^\alpha$, afin d'arriver à $\alpha n^{\alpha-1} \approx \frac1{n^{\alpha}}$ avec $f(n) = n^\alpha$.
La seule valeur crédible est $\alpha = \frac12$. En fait, l'équation différentielle $f' = \frac1f$ suggère même $f : x \mapsto \sqrt{2 x}$.
Reste alors à établir rigoureusement le résultat : on essaye de montrer que $\frac12(x_n)^2 \sim n$.
P.S. C'est le théorème de sommation des relations de comparaison qui est important, Cesàro est juste une coquetterie.
Siméon : le but du jeu, c'est qu'on ne me donne pas les réponses toutes faites... :-(
$x_n \approx f(n)$ je ne l'ai pas démontré, et je ne vois pas du tout comment l'obtenir à partir de $x_{n+1}=f(x_n)$.
Et ta façon de trouver le $\alpha$ crédible, je ne vois pas comment on est censé y penser non plus.
Vous autres, je ne sais pas comment vous faites pour résoudre ces exercices comme s'ils étaient évidents. Je n'ai rien réussi tout seul pour l'instant, et la moitié du temps quand vous répondez à ma place je ne comprends même pas la réponse tout seul. C'est pas possible à la fin ! Vous faites COMMENT ? Qu'est-ce qu'il me manque ? Soit il y a une méthode pour faire ces choses que vous utilisez sans le dire, pour trouver dans quel sens réfléchir au problème, soit vous savez faire parce que pour chaque exercice vous en avez déjà fait 800 pareils et vous qvez appris par coeur. Je n'ai pas le temps de faire 800 exercices de chaque type pour retenir une bidouille à chaque fois, je n'arriverai pas à les retenir de toute façon. J'en ai marre, ça me dégoûte. J'essaie depuis je ne sais pas combien de temps de vraiment comprendre et je n'ai pas progressé du tout...
Désolé que tu le prennes comme ça. J'essayais justement de t'expliquer comment je fais pour savoir quoi poser, sans donner toute la solution pour autant.
Il s'agit d'une espèce d'analyse-synthèse : on suppose l'existence d'un équivalent assez régulier et on cherche à établir des conditions sur cet équivalent en procédant heuristiquement (par approximations grossières). Si tout se passe bien, on en déduit alors une direction privilégiée pour démontrer rigoureusement les choses (synthèse).
Tout ce que j'ai fait, c'est apporter des explications sur la phase heuristique (analyse) qui permettent de comprendre pourquoi considérer $u_{n}^2$ est une bonne idée. C'est un peu technique, certes, mais le but est de te donner une approche assez générale pour ne pas te farcir des centaines d'exercices et astuces à apprendre par cœur...
Attention, $f$ désignait dans mon précédent message une fonction inconnue qui donne l'équivalent et sur laquelle on chercher des conditions (ici une équation différentielle). Ce n'était pas le même $f$ que toi.
Ben, attends, je vais t'expliquer les problèmes que j'ai plus en détail.
Tu me dis qu'on suppose l'existence d'un équivalent "assez régulier" : alors, supposer l'existence d'un équivalent, bien sûr. L'exercice demande d'en trouver un, donc on part du principe qu'il y en a un. Par contre, déjà supposer quelque chose sur sa régularité, je ne le ferais jamais par moi-mêmen surtout pas à ce stade du raisonnement. A ce stade, à part supposer que l'exercice a une solution, je n'ai encore rien fait.
Ecrire la solution sous la forme $f(n)$, effectivement, ça j'aurais dû le faire moi-même. Mais pourquoi tu t'autorises à chercher un équivalent avec $f$ dérivable ? On ne sait absolument rien ici, alors, pourquoi demander ça ? Pourquoi demander la dérivabilité avant d'avoir écrit le moindre $\epsilon$, pourquoi ne pas exiger autre chose (uniformément contonue, infiniment dérivable, je ne sais pas quoi...), pourquoi précisément cette hypothèse-là ?
La question que je te pose, plus précisément, c'est : si on te demande un équivalent de $(u_n)_n$ définie par $u_0$ et $u_{n+1} = h(u_n)$, vas-tu toujours chercher à approximer $u_n$ par $f(n)$ par une fonction dérivable ? Ou bien il faut que $h$ soit dérivable pour ça ? Ici, dans l'exercice, $h$ est positive et infiniment dérivable, pourquoi ne pas chercher $f$ qui vérifie la même chose ? Quelle est la méthode avec laquelle tu poses des hypothèses sur ta solution ?
As-tu voulu $f$ dérivable exprès pour utiliser la formule de Taylor ? Si oui, pourquoi la formule de Taylor précisément et pas une des 20 000 autres formules du cours d'analyse ? Qu'est-ce qui t'a aiguillé vers ça en particulier ? Parce que moi, quand je suis bloqué, j'ai 20 000 formules à "tester", en supposant que je trouve le bon truc à écrire avec, je ne vois pas comment tu fais pour savoir laquelle il faut utiliser.
Chercher "le $\alpha$ crédible", sans avoir $f$ et l'idée de Taylor, je ne vois pas comment c'est censé être possible de le trouver. J'aimerais bien savoir.
En fait je ne me limite pas forcément à $f$ dérivable. Toutes les hypothèses sont bonnes à prendre tant qu'elles m'amènent à un candidat : « la fin justifie les moyens ». Note d'ailleurs que je n'aurai pas forcément besoin de vérifier ces hypothèses par la suite (synthèse).
As-tu voulu $f$ dérivable exprès pour utiliser la formule de Taylor ? Si oui, pourquoi la formule de Taylor précisément et pas une des 20 000 autres formules du cours d'analyse ? Qu'est-ce qui t'a aiguillé vers ça en particulier ?
Grosso modo ce serait ça oui, et j'aurais dû le préciser : la définition de la suite me donne une information sur $x_{n+1} - x_{n}$, que je vois comme une dérivée discrète. C'est un truc à connaître ! (lié aux comparaisons séries/intégrales).
Bonsoir @HT, cette fiche peut aider, je l'avais trouvée quand je travaillais sur ce genre d'exercices.
Il s'agit de quelques méthodes concernant les équivalents des suites récurrentes de la forme $U_{n+1}=f(U_{n})$, tu pourras trouver d'autres fiches concernant le sujet sur la page indiquée à l'intérieur du PDF.
Je me garde ça, j'ai lu en diagonale pour l'instant.
Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi on s'attarde autant sur $|f'(\text{point fixe})| = 1$. Je trouve ça très restrictif comme hypothèse, parce que du coup, pour toutes les fonctions $f$ qui admettent un point fixe avec un autre accroissement, on n'a rien. Alors, OK, puisque ça marche, on peut faire plein d'exos de première année dessus, dire que "c'est classique" parce que c'est devenu standard de faire plein d'exos de ce type en première année (parce qu'on n'a rien d'autre) et donc remettre ça dans les sujets de CAPES/agreg parce que "c'est classique" (parce qu'on l'a fait 50 fois faute d'avoir autre chose).
Mais ça n'empêche que c'est un cas particulier d'un cas particulier, et investir autant de travail pour si peu, moi ça m'énerve. Le théorème qui dit "si une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge, c'est vers un point fixe de $f$", y a pas 36.000 hypothèses dessus, donc on peut s'en servir à peu près tout le temps.
Oui mais la question est d'étudier la vitesse de convergence .
Si $|f'(x|<1$ alors la convergence est "rapide": équivalent à suite géométrique .
Mais dans le cas $|f'(x)|=1 $ on évalue la vitesse de convergence "lente "et cela dépend d'un développement limité de $f$au voisinage de la limite .
Les exercices de Calli sont vachement costauds. Ils font peur.
La limite du lemme de Fekete est traitée dans un sujet Mines MP maths 1 2018 avec plusieurs questions intermédiaires. Dans le sujet on démontre simplement la convergence.
Salut OShine, c'est fait exprès que les exercices soient difficiles. J'ai un bouquin qui couvre ces notions d'analyse mais tous les exercices du livre sont assez simples pour moi. Pourtant, je ne me sens pas à l'aise en analyse réelle, alors j'ai demandé des exercices plus difficiles. Comme tu peux le voir, ils n'ont pas forcément été bien dosés pour mon niveau parce que je galère dessus à chaque étape.
Si tu veux te faire les dents dessus, essaie de réfléchir à ces exercices de ton côté. Cette fois, tu n'auras pas de corrigé pour t'aider, c'est plus intéressant.
Non pour l'instant je n'ai pas le niveau, je préfère faire des exercices d'application du cours. Et je vais continuer à travailler le calcul matriciel et le dénombrement.
J'aimerais démontrer que $\dfrac{1}{2}x_n^2 \sim n$. Mais comme avec les exos de Riemann_lapins_crétins... je ne sais pas trop comment bien attaquer le problème.
$\dfrac{1}{2}x_{n+1}^2 - n = \dfrac{x_n^2}{2} + \dfrac{1}{2x_n^2} + 1 - n$. Ce truc est un $o(n)$ si pour tout $\epsilon > 0$ et tout $n$ assez grand, on a :
Les termes $\dfrac{1}{2nx_n^2}$ et $\dfrac{1}{n}$ tendent à s'annuler, donc il faut espérer que $\dfrac{x_n^2}{2n}$ se rapproche de $1$, et réussir à le montrer. Je suis de nouveau à la case départ, ici. Et je ne vois pas trop comment faire autrement. :-S
Réponses
- $y$ est dérivable
- $y$ admet une limite finie
- $y'$ est somme d'une fonction uniformément continue et d'une fonction de limite nulle
Du coup, j'ai 4 trucs à exploiter pour trouver le résultat. $y$ dérivable, ça me donne potentiellement des théorèmes valables sur les intervalles compacts, donc aucune information globale. $y$ admet une limite finie, ça me donne juste des $\epsilon$ à bidouiller. $a$ uniformément continue, je n'ai aucun théorème qui m'a l'air exploitable ici sur la continuité uniforme dans mon cours, et $b$ de limite nulle ça me donne encore une fois juste des $\epsilon$ à bidouiller. J'ai déjà plein de choses à écrire, mais je finis par avoir tellement de lettres à manipuler que je perds le fil de comment démontrer quoi.
Voilà comment moi j'ai abordé le problème : $y'=a+b$, et $b$ tend vers $0$, donc la limite de $y'$, si elle existe, c'est celle de $a$. Donc, d'accord, il faut montrer que $a$ admet une limite. Comme $a$ est uniformément continue, on peut effectivement "contrôler" les accroissements de $a$. Mais à partir de là... comment utiliser que $y$ a une limite finie pour trouver quelque chose ? Puisque la limite des $\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}$ est $a(t)+b(t)$, je me suis demandé ce que je pouvais dire sur $f(t+h)-f(t)$, mais je voulais relier $\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}$ et $a(t)+b(t)$ sans passer à la limite. Aucune idée comment faire ça, et utiliser la continuité uniforme de $a$, ça aurait fait apparaître une variable de plus, puisque c'est des trucs qui contiennent du $a(t)-a(s)$ par exemple.
Bah tu l'as déjà fait, c'est le théorème des accroissements finis. Sauf que tu n'obtiens pas $a(t)+b(t)$ mais $a(u)+b(u)$ pour un certain $u \in ]t, t+h[$. C'est là que les accroissements de $y'$ (et donc essentiellement de $a$), entrent en jeu !
Soit $\epsilon > 0$ fixé. Pour ce $\epsilon$, il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout $t > \eta$ et tout $h > 0$, il existe $u \in ]t;t+h[$ tel que $h|y'(u)| \leqslant 2 \epsilon$.
Puisque Poirot parlait du "$u$ le plus proche", je pense qu'il faut fixer une valeur pour $h$. Pour le $\epsilon$ qu'on s'est fixés, la continuité uniforme de $a$ s'écrit : il existe $\delta > 0$ tel que pour tous $s,t$, si $|s-t| \leqslant \delta$, alors $|a(s)-a(t)|< \epsilon$. Si je remonte dans la ligne ci-dessus en fixant $h=\delta$, qu'est-ce que ça me donne ?
Soit $\epsilon > 0$ fixé. Pour ce $\epsilon$, il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout $t > \eta$, il existe $u \in ]t;t+\delta[$ tel que $|y'(u)| \leqslant \dfrac{2\epsilon}{\delta}$. Et de même, pour tout $v \in ]t;t+\delta[$, on a $|a(u)-a(v)| \leqslant \epsilon$. Mais il faut encore réussir à recoller les morceaux...
$y'(v) = y'(u) + a(v) - a(u) + b(v) - b(u)$ et donc $|y'(v)| \leqslant |y'(u)| + |a(v)-a(u)| + |b(v)-b(u)| \leqslant \dfrac{2 \epsilon}{\delta} + \epsilon + 2 \epsilon$. Au passage, j'ai brutalement majoré $|b(v) - b(u)|$ en supposant que le $\eta$ choisi correspond aussi à celui qui rend $b$ assez petite (petit coup de $\max$, rien d'illicite).
Donc à la réécriture près, pour tout $\epsilon ' > 0$, on a : $|y'(v)| \leqslant \epsilon '$ sur $]t;t+\delta[$.
J'essaierai de terminer plus tard, il ne doit plus manquer grand-chose.
De la même manière tu peux déjà essayer de voir quel exposant $\alpha$ serait crédible pour $x_n \simeq n^\alpha$.
En tout cas les termes de la suite se rapprochent de plus en plus, donc elle croît en ralentissant, donc pour répondre à ta question, il faut $\alpha < 1$.
Je ne sais pas trop comment attaquer le problème. Pour l'instant, tout ce que je sais, c'est que la suite $x_{n+1} = x_n + \dfrac{1}{x_n}$ tend vers l'infini (car $x_0 > 0)$. Je sais aussi que si $n^{\alpha}$ est censé être un équivalent, alors il faut que $\alpha < 1$. Je ne sais pas trop quoi d'autre extraire de la suite, ni de l'étude de $f : x \longmapsto x + \dfrac{1}{x}$. Bon, alors, j'essaie de sortir les $\epsilon$.
Je veux voir si je peux trouver $\alpha < 1$ tel que : $\forall \epsilon > 0$, $\exists N > 0$, $\forall n \geqslant N$ : $-\epsilon n^{\alpha} \leqslant |x_n - n^{\alpha}| \leqslant \epsilon n^{\alpha}$.
La seule idée que j'ai maintenant, c'est que le $\forall n \geqslant N$ me permet de dire : si c'est vrai pour $x_n$, alors ça doit être vrai pour $x_{n+1}$, donc pour $x_n + \dfrac{1}{x_n}$. Donc en gros, je veux : $-\epsilon n^{\alpha} \leqslant |x_n - n^{\alpha}| \leqslant \epsilon n^{\alpha}$ et $-\epsilon n^{\alpha} \leqslant |x_n + \dfrac{1}{x_n} - n^{\alpha}| \leqslant \epsilon n^{\alpha}$.
Pour trouver quoi faire avec ça, je réfléchis encore.
1) Comment sais-tu que $x_n \sim x_{n+1}$ ?
2) Pourquoi chercher un $\alpha$ tel que $x_{n+1}^{\alpha} - x_n^{\alpha}$ tend vers une limite finie ? Et même si je savais pourquoi faire ça, pourquoi prendre $2$ comme exposant ?
3) Comment ça utiliser Cesàro ? Il n'y a aucune somme ici...
:-S :-S :-S :-S :-S
Soit $u_n=x_{n+1}^2-x_n^2$ .
$u_n $tend vers 2 .On en déduit que $\frac{1}{n} \Sigma _1^n u_k$ tend vers 2.
si $\lim x_n=\infty $ alors $ \lim \frac {1}{x_n}=0$ est assez évident !
Comme ça, c'est fait.
Par contre, pourquoi c'est une idée naturelle ici de chercher un exposant $\alpha$ tel que $x_{n+1}^{\alpha} - x_n^{\alpha}$ ait une limite finie ?
$x_{n+1}=f(x_n)$, où $f$ est suffisamment dérivable et, en supposant que la limite est 0 (quitte à s'y ramener) et que $f'(0)=1$.
Par exemple $x_{n+1}=\sin(x_n)$ ou $x_{n+1}=\ln(1+x_n)$.
Dans ces cas là, bien sûr $\alpha <0$.
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. AD]
Si c'est classique, je ne l'ai jamais vu.
J'étais prof en spé, j'ai vu des études de recherche d'équivalents de terme général de suites récurrentes dans plusieurs problèmes de concours et je posais régulièrement un exercice de ce type dans mes feuilles d'exercices en indiquant la méthode .
Exercice taupinal ! :-D
Je trouve ça dingue de dire qu'un truc est censé être "classique" avec des hypothèses aussi précises. La suite doit tendre verd $0$, $f$ doit être de classe je sais pas combien, et si $f'(0)$ vaut n'importe quoi d'autre que $1$, ça ne marche plus.
Je peine à voir l'intérêt d'un exercice pareil et de sa résolution...
Si $x_n \approx f(n)$ pour une fonction $f$ assez gentille, alors $f(n+1) \approx f(n) + \frac1{f(n)}$.
Avec l'approximation de Taylor $f(n+1) \approx f(n) + f'(n)$, on en vient à chercher $f$ telle que $f'(n) = \frac1{f(n)}$.
Je t'avais suggéré de chercher un $\alpha$ crédible tel que $x_n \approx n^\alpha$, afin d'arriver à $\alpha n^{\alpha-1} \approx \frac1{n^{\alpha}}$ avec $f(n) = n^\alpha$.
La seule valeur crédible est $\alpha = \frac12$. En fait, l'équation différentielle $f' = \frac1f$ suggère même $f : x \mapsto \sqrt{2 x}$.
Reste alors à établir rigoureusement le résultat : on essaye de montrer que $\frac12(x_n)^2 \sim n$.
P.S. C'est le théorème de sommation des relations de comparaison qui est important, Cesàro est juste une coquetterie.
$x_n \approx f(n)$ je ne l'ai pas démontré, et je ne vois pas du tout comment l'obtenir à partir de $x_{n+1}=f(x_n)$.
Et ta façon de trouver le $\alpha$ crédible, je ne vois pas comment on est censé y penser non plus.
Vous autres, je ne sais pas comment vous faites pour résoudre ces exercices comme s'ils étaient évidents. Je n'ai rien réussi tout seul pour l'instant, et la moitié du temps quand vous répondez à ma place je ne comprends même pas la réponse tout seul. C'est pas possible à la fin ! Vous faites COMMENT ? Qu'est-ce qu'il me manque ? Soit il y a une méthode pour faire ces choses que vous utilisez sans le dire, pour trouver dans quel sens réfléchir au problème, soit vous savez faire parce que pour chaque exercice vous en avez déjà fait 800 pareils et vous qvez appris par coeur. Je n'ai pas le temps de faire 800 exercices de chaque type pour retenir une bidouille à chaque fois, je n'arriverai pas à les retenir de toute façon. J'en ai marre, ça me dégoûte. J'essaie depuis je ne sais pas combien de temps de vraiment comprendre et je n'ai pas progressé du tout...
Il s'agit d'une espèce d'analyse-synthèse : on suppose l'existence d'un équivalent assez régulier et on cherche à établir des conditions sur cet équivalent en procédant heuristiquement (par approximations grossières). Si tout se passe bien, on en déduit alors une direction privilégiée pour démontrer rigoureusement les choses (synthèse).
Tout ce que j'ai fait, c'est apporter des explications sur la phase heuristique (analyse) qui permettent de comprendre pourquoi considérer $u_{n}^2$ est une bonne idée. C'est un peu technique, certes, mais le but est de te donner une approche assez générale pour ne pas te farcir des centaines d'exercices et astuces à apprendre par cœur...
Attention, $f$ désignait dans mon précédent message une fonction inconnue qui donne l'équivalent et sur laquelle on chercher des conditions (ici une équation différentielle). Ce n'était pas le même $f$ que toi.
Tu me dis qu'on suppose l'existence d'un équivalent "assez régulier" : alors, supposer l'existence d'un équivalent, bien sûr. L'exercice demande d'en trouver un, donc on part du principe qu'il y en a un. Par contre, déjà supposer quelque chose sur sa régularité, je ne le ferais jamais par moi-mêmen surtout pas à ce stade du raisonnement. A ce stade, à part supposer que l'exercice a une solution, je n'ai encore rien fait.
Ecrire la solution sous la forme $f(n)$, effectivement, ça j'aurais dû le faire moi-même. Mais pourquoi tu t'autorises à chercher un équivalent avec $f$ dérivable ? On ne sait absolument rien ici, alors, pourquoi demander ça ? Pourquoi demander la dérivabilité avant d'avoir écrit le moindre $\epsilon$, pourquoi ne pas exiger autre chose (uniformément contonue, infiniment dérivable, je ne sais pas quoi...), pourquoi précisément cette hypothèse-là ?
La question que je te pose, plus précisément, c'est : si on te demande un équivalent de $(u_n)_n$ définie par $u_0$ et $u_{n+1} = h(u_n)$, vas-tu toujours chercher à approximer $u_n$ par $f(n)$ par une fonction dérivable ? Ou bien il faut que $h$ soit dérivable pour ça ? Ici, dans l'exercice, $h$ est positive et infiniment dérivable, pourquoi ne pas chercher $f$ qui vérifie la même chose ? Quelle est la méthode avec laquelle tu poses des hypothèses sur ta solution ?
As-tu voulu $f$ dérivable exprès pour utiliser la formule de Taylor ? Si oui, pourquoi la formule de Taylor précisément et pas une des 20 000 autres formules du cours d'analyse ? Qu'est-ce qui t'a aiguillé vers ça en particulier ? Parce que moi, quand je suis bloqué, j'ai 20 000 formules à "tester", en supposant que je trouve le bon truc à écrire avec, je ne vois pas comment tu fais pour savoir laquelle il faut utiliser.
Chercher "le $\alpha$ crédible", sans avoir $f$ et l'idée de Taylor, je ne vois pas comment c'est censé être possible de le trouver. J'aimerais bien savoir.
Grosso modo ce serait ça oui, et j'aurais dû le préciser : la définition de la suite me donne une information sur $x_{n+1} - x_{n}$, que je vois comme une dérivée discrète. C'est un truc à connaître ! (lié aux comparaisons séries/intégrales).
Il s'agit de quelques méthodes concernant les équivalents des suites récurrentes de la forme $U_{n+1}=f(U_{n})$, tu pourras trouver d'autres fiches concernant le sujet sur la page indiquée à l'intérieur du PDF.
Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi on s'attarde autant sur $|f'(\text{point fixe})| = 1$. Je trouve ça très restrictif comme hypothèse, parce que du coup, pour toutes les fonctions $f$ qui admettent un point fixe avec un autre accroissement, on n'a rien. Alors, OK, puisque ça marche, on peut faire plein d'exos de première année dessus, dire que "c'est classique" parce que c'est devenu standard de faire plein d'exos de ce type en première année (parce qu'on n'a rien d'autre) et donc remettre ça dans les sujets de CAPES/agreg parce que "c'est classique" (parce qu'on l'a fait 50 fois faute d'avoir autre chose).
Mais ça n'empêche que c'est un cas particulier d'un cas particulier, et investir autant de travail pour si peu, moi ça m'énerve. Le théorème qui dit "si une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge, c'est vers un point fixe de $f$", y a pas 36.000 hypothèses dessus, donc on peut s'en servir à peu près tout le temps.
Si $|f'(x|<1$ alors la convergence est "rapide": équivalent à suite géométrique .
Mais dans le cas $|f'(x)|=1 $ on évalue la vitesse de convergence "lente "et cela dépend d'un développement limité de $f$au voisinage de la limite .
La limite du lemme de Fekete est traitée dans un sujet Mines MP maths 1 2018 avec plusieurs questions intermédiaires. Dans le sujet on démontre simplement la convergence.
Si tu veux te faire les dents dessus, essaie de réfléchir à ces exercices de ton côté. Cette fois, tu n'auras pas de corrigé pour t'aider, c'est plus intéressant.
Non pour l'instant je n'ai pas le niveau, je préfère faire des exercices d'application du cours. Et je vais continuer à travailler le calcul matriciel et le dénombrement.
Bon courage.
$\dfrac{1}{2}x_{n+1}^2 - n = \dfrac{x_n^2}{2} + \dfrac{1}{2x_n^2} + 1 - n$. Ce truc est un $o(n)$ si pour tout $\epsilon > 0$ et tout $n$ assez grand, on a :
$\bigg|\dfrac{x_n^2}{2n} + \dfrac{1}{2nx_n^2} + \dfrac{1}{n} - 1 \bigg| \leqslant \epsilon$.
Les termes $\dfrac{1}{2nx_n^2}$ et $\dfrac{1}{n}$ tendent à s'annuler, donc il faut espérer que $\dfrac{x_n^2}{2n}$ se rapproche de $1$, et réussir à le montrer. Je suis de nouveau à la case départ, ici. Et je ne vois pas trop comment faire autrement. :-S
$\dfrac{x_{n+1}^2}{2} - \dfrac{x_n^2}{2} \sim 1$ donc en sommant terme à terme, on trouve $\dfrac{x_n^2}{2} \sim n$.
On peut appliquer cette méthode à toute suite de la forme $u_{n+1} = u_n \pm \text{machin}$.
Par contre, si je regarde $u_{n+1} = \sqrt{u_n} + \dfrac{1}{u_n}$, ça sera plus compliqué...