Exercices : max min sup inf
Réponses
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En supposant $f<g$ comme toi, j'ai regardé les points fixes de $f$ ($f$ a au moins un point fixe) et comment $g$ "agit" sur ces points fixes.
PS. par contre je ne sais pas si c'est la façon la plus simple de procéder... -
Raoul : (tu)
PS: En fait, en y repensant, cet exercice n'est peut-être pas plus difficile que les exercices sans "$[\dagger]$". Mais ça n'est pas facile de juger la difficulté des exos car ça dépend de la personne qui essaie de le résoudre. -
En ce qui me concerne, il mérite le $[\dagger]$. J'ai mis un moment pour trouver...
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Bon d'accord. Si on veut ajuster les niveaux de difficulté annoncés, il faudrait plutôt rajouter un $[\dagger]$ aux 9/ et 10/ je pense. Je vais le faire.
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Pourquoi $f$ aurait un point fixe ?
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Essaie de le démontrer en utilisant le fait que $f$ va de $[0,1]$ dans lui-même. Un dessin aidera.
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J'avais demandé comment interpréter graphiquement que $f \circ g = g \circ f$ et personne n'avait encore rien dit. Pour moi, ça ne me paraît pas clair que $f$ et $g$ traversent forcément la première bissectrice uniquement avec cette condition...
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Ça n'a rien à voir avec $f\circ g=g\circ f$. On a : toute fonction $f\in\cal C([0,1],[0,1])$ possède un point fixe.
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Pour le coup c'est un des premiers exercices que l'on voit en L1 quand on parle de fonctions continues d'une variable réelle.
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Sur un dessin c'est trivial, mais il faut que je réussisse à le justifier. Je vais réfléchir à ça, puisque visiblement c'est le point clé.
EDIT : Poirot, au risque de me répéter au point de devenir insultant pour mes profs d'analyse en L1-L2, je n'ai pratiquement rien vu d'utile en analyse en L1-L2, chacune de mes tentatives de résoudre un exo montre qu'il y a un truc basique et/ou considéré comme "classique" que je n'ai jamais vu. -
$f(0) \geqslant 0$ donc $f(0) - 0 \geqslant 0$ et $f(1) \leqslant 1$ donc $f(1) - 1 \leqslant 0$. Donc la fonction $x \longmapsto f(x)-x$ change de signe sur $[0;1]$, et comme elle est continue, le TVI assure l'existence d'un point fixe de $f$. Pffff, c'était juste ça.
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Je crois que sans un peu d'indices, l'exercice est difficile, je me rappels que je l'ai fait avec des questions intermédiaires.
Donc je vais donner des indices aussi à @HP.
$1-$ On montre que $f$ admet au moins un point fixe.
$2-$ On montre que $F$ qui est l'ensemble des points fixes admet un plus grand et un plus petit élément.
$3-$On montre que $F$ est stable par $g$
$4-$ on conclut avec la question de @Calli . -
Merci pour les indices, maintenant si tu pouvais arrêter d'écorcher mon pseudo :-D
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Je vais faire la deuxième question pour t'éviter de perdre ton temps:
D'après le $1$, $F$ est non vide. En outre, on a $F\subset [0;1]$, donc $F$ est bornée. Ainsi $F$ admet une borne inférieure $a$ et une borne supérieure $b$.
Il existe donc des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ d'éléments de $F$ convergeant respectivement vers $a$ et $b$. On a $f(a_{n})=a_{n}$ et $f(b_{n})=b_{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Comme $f$ est continue, on a $f(a)=a$ et $f(b)=b$ par passage à la limite. Ainsi $a,b \in F$ donc $a=min(F)$ et $b=max(F)$ -
Désolé, je cache donc la réponse à la question $2$
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http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1940756,2037500#msg-2037500 : Oui. Ici on voulait montrer que la courbe de $f$ intersecte la courbe de $x\mapsto x$. Ce sont deux fonctions continues, donc il y avait de grandes chances que le TVI aide.
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"on voulait"... je n'avais pas en tête le résultat sur le point fixe, donc je ne me doutais absolument pas qu'il faut que ça serve ici. J'essaierai.
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Bon, alors : on sait que $f$ admet (au moins) un point fixe. Soit $F$ l'ensemble des points fixes de $f$. Alors $F$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est bornée, donc $F$ admet une borne $\inf$ et une borne $\sup$, donc en particulier un plus petit et un plus grand élément. $F$ est stable par $g$ car pour tout $x \in F$, $x=f(x)$ et donc $g(x) = g(f(x)) = f(g(x))$, donc $g(x)$ est un point fixe de $f$, donc $g(x) \in F$.
Je ne comprends pas encore à quoi sert le fait que $F$ admet des éléments extrémaux... je pense que c'est ça qui m'empêche de conclure. J'y réfléchis encore. -
Homo Topi, si on a supposé que f<g sur [0;1], le max M de F vérifie : g(M)<=M (puisque g(M) est dans F), et donc absurdité..
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Pourquoi ne pas raisonner par l’absurde avec l’indication que tu avais , c’est-à-dire celle de considérer la fonction $f-g$
Supposons que la fonction ne s’annule pas sur $[0;1]$ qu’est-ce que cela entraîne ... -
Je suis d'accord que ça manque d'arguments. Je cherche.
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J'aimerais sortir un argument du style "$F$ est fermé" mais ce n'est pas du niveau L1...
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C'est au plus de niveau L2, donc à ta place je ne m'en priverais pas.
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Ben $F$ est fermé borné, donc compact. Donc euhhhhhhhhhhhhhhh... $f$ est bornée sur $F$ et atteint ses bornes, donc $\inf(f(F)) \in F$ et $\sup(f(F)) \in F$. Mais comme $F$ est l'ensemble des points fixes de $F$, on a $f(F)=F$ et c'est bon je crois.
Il y a une méthode plus élémentaire (niveau "L1 strict") pour faire ça ? -
Effectivement ! Bon, ça c'est fait et Zig a déjà répondu à ma question. Donc en principe, l'exercice est résolu.
MAIS.
Moi, ce qui m'intéresse, c'est comment on passe de l'énoncé à ces 4 étapes. Quand j'ai vu l'énoncé, je n'avais aucune idée comment commencer, et je ne vois pas ce qui aurait pu m'inciter à faire comme ça. -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1940756,2039698#msg-2039698
C'est un peu tordu comme façon de faire, utiliser le théorème de compacité ici. Je dirais plus simplement que tout compact de $\Bbb R$ possède un min et un max (le montrer si besoin). Et on l'applique à $F$ qui est compact. -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1940756,2039738#msg-2039738
Ok. Oublions la solution de cet exercice et essayons de la retrouver par un chemin naturel.
On veut $f(a)=g(a)$. Supposons l'existence d'un tel $a$ et cherchons des pistes. On a des infos sur les composées de $f$ et $g$, donc essayons de composer la relation précédente par $f$. Ça donne $f\circ f(a)=f\circ g(a)$ donc $f\circ f(a) = g\circ f(a)$. Donc, si $a$ répond à l'exercice, alors $f(a)$ aussi, donc tous les $f^{\circ n}(a)$ aussi. C'est une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0=a$. Qu'est-ce que ça nous inspire ? On sait que si $(u_n)$ converge, alors c'est vers un point fixe de $f$. On ne sais pas du tout si $(u_n)$ converge (une suite récurrente peut avoir un comportement très compliqué, même pour des fonctions simples), mais cette étude a quand même fait germer dans notre tête l'idée de regarder les points fixes de $f$. C'est vrai que si on disposait d'un nombre $a$ qui soit un point fixe de $f$ et un point fixe de $g$, on aurait $f(a)=a=g(a)$. J'en demande peut-être trop... nous verrons. En tout cas, tentons de regarder les points fixes de $f$.
Là qu'est-ce qu'on peut dire ? On a une fonction $g$, donc regardons ce qu'elle fait avec les points fixes de $f$. On observe que, si $x$ est un point fixe de $f$, alors $g(x)$ aussi. Donc tous les $g^{\circ n}(x)$ sont aussi des points fixes de $f$. Si cette suite convergeait, alors sa limite serait un point fixe de $f$ et de $g$. Ce serait vachement bien ! Mais cessons de rêver ; on ne sait pas si la suite $(g^{\circ n}(x))_n$ converge, donc mauvaise piste :-P.
Bon, supposons par l'absurde que le résultat demandé par l'énoncé est faux. Ça ne mange pas de pain. On a $f<g$ ou $g<f$ ; mettons $f<g$. Si $x$ est un point fixe de $f$, alors $x=f(x)<g(x)$. Je rappelle que $g(x)$ est un point fixe de $f$. On voudrait avoir $f(x)=g(x)$. Pour forcer la chose, il suffit qu'il n'y ait pas d'autre point fixe supérieur à $x$ que $x$. Donc on prend $x$ le max des points fixes de $f$ et banco ! Même principe si $g<f$.
J'ai écrit en mode "fil de la pensée", comme tu as tendance à faire. -
J'avais pensé brièvement regarder $f \circ f$ etc, mais sans l'optique de "je cherche un point fixe", ça n'avait pas l'air d'aller quelque part. Je n'avais pas pensé à chercher une suite. Ton chemin m'a l'air naturel en le lisant, mais je ne sais pas si je l'aurais trouvé naturellement en cherchant.
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Je commence le 10/.
Soit $n \geqslant 1$. Posons $f_n(x) = -1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n x^k = -1 + x + ... + x^n$. Alors $f'_n(x) = 1 + ... + nx^{n-1}$.
Donc pour tout $n \geqslant 1$ et tout $x \geqslant 0$, $f'_n(x) \geqslant 1 > 0$ et donc $f_n$ est strictement croissante sur $[0;\infty[$. Comme, pour tout $n \geqslant 1$, on a $f_n(0) = -1$ et $f_n(2) \geqslant 1$, le TVI assure l'existence et l'unicité de $x_n$ tel que $f_n(x_n)=0$.
On sait même déjà que la suite $(x_n)_n$ est bornée. Pour qu'elle converge, il suffit donc qu'elle soit monotone.
Graphiquement, je suis à peu près certain qu'elle décroît. Reste à le montrer.
Par contre l'histoire du "terme suivant du développement asymptotique", j'avoue ne pas avoir compris la question... -
Trouver le terme suivant du développement asymptotique ça veut dire écrire $x_n$ sous la forme $x_n = \ell +\varepsilon_n +o(\varepsilon_n)$ avec $\ell = \lim x_n$ et $(\varepsilon_n)$ une suite exprimée avec les suites usuelles (du style $\frac1{2n}$, $\frac{(-1)^n \ln(n)}n$...) qui tend vers 0. C'est $(\varepsilon_n)$ le deuxième terme du DA.
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Ah, d'accord. Je n'avais jamais entendu ça.
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Par exemple, un DA (développement asymptotique) de $n!$ à deux termes est $\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n\left[1+\frac1{12n}+o\left(\frac1n\right)\right]$ (en l’occurrence, on factorise pour simplifier l'expression).
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En étant mieux réveillé : $x_n$ est l'unique solution positive de $\displaystyle \sum_{k=1}^n x^k = 1$. Si la suite $(x_n)_n$ converge vers un réel $l$, alors quand $n$ tend vers l'infini, on regarde l'équation $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} l^k = 1$, c'est-à-dire de $\dfrac{1}{1-l} -1 = 1$, donc la limite ne peut être que $l=\dfrac{1}{2}$.
Bon, il faut encore que je montre que la suite $(x_n)_n$ décroît, quand même. Mais au moins j'ai la limite. -
Il est pertinent d'étudier la fonction $f_n:x\mapsto\sum_{k=1}^nx^k$ (monotonie) et de la comparer avec $f_{n+1}$. Puis utiliser la comparaison obtenue en évaluant ça en $x_n$ ou $x_{n+1}$ et utiliser la monotonie de $f_n$ ou $f_{n+1}$ pour comparer $x_n$ et $x_{n+1}$.
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J'ai déjà calculé la dérivée, et ça montre que $f'_{n+1} > f'_n$ sur $]0;\infty[$. Comme $f_n(0) = f_{n+1}(0)=-1$, "c'est garanti" que $x_n < x_{n+1}$, mais j'aimerais trouver le moyen de le rédiger proprement.
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Puisque par définition on a $f_{n+1}(x_{n+1}) = 1$ alors $f_n(x_{n+1}) = 1 - x_{n+1}^{n+1} < 1$, d'où $x_{n+1} < x_n$.
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MC n'utilise pas les mêmes $f_n$ que moi mais ça revient au même. Poirot, je pense que tu t'es mélangé les pinceaux avec les indices.
Je refais avec mes fonctions à moi.
$f_n(x_n) = -1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n (x_n)^k = 0 = -1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} (x_{n+1})^k = f_{n+1}(x_{n+1})$.
$f_n(x_{n+1}) = 1 - (x_{n+1})^{n+1} < 1 = f_n(x_n)$ donc par croissance de $f_n$ on a bien $x_{n+1} \leqslant x_n$. -
Je suis en train de chercher comment trouver le développement asymptotique. En bidouillant l'expression $x_n - \frac{1}{2}$ je ne vois pas comment faire apparaître une fonction explicite de $n$. Avec un DL peut-être. J'ai essayé vite-fait au brouillon, ça ne m'a pas vraiment inspiré... il va falloir encore chercher.
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As-tu montré proprement que la limite est 1/2 ? Je n'en ai pas l'impression.
Pour la suite du DA, il peut être bien d'utiliser la formule d'une somme géométrique finie. Ça donnera une autre équation pour $x_n$. -
Pourquoi ce que j'ai dit ne suffit pas ? Si la limite existe, j'ai montré que c'est forcément $1/2$, j'ai montré que la suite est bornée, et qu'elle est décroissante. Qu'est-ce qui ne te convient pas ?
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Tu as écrit que la limite vérifie $\sum\limits_{k=1}^{\infty} l^k = 1$, mais pourquoi ? Il y a deux passages à la limite imbriqués : $x_n\to l$ et $\sum\limits_{k=1}^n x^k \to \sum\limits_{k=1}^\infty x^k$. Donc ça demande une justification à mon avis.
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D'accord avec Calli sur ce coup. La justification n'est pas difficile cependant, vu que (sauf erreur) \[1=\sum_{k=1}^nx_n^k=\frac{1-x_n^n}{1-x_n}-1.\]Il sagit donc simplement de justifier que $\lim_{n\to+\infty}x_n^n=0$.
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