Raoul : (tu)
PS: En fait, en y repensant, cet exercice n'est peut-être pas plus difficile que les exercices sans "$[\dagger]$". Mais ça n'est pas facile de juger la difficulté des exos car ça dépend de la personne qui essaie de le résoudre.
Bon d'accord. Si on veut ajuster les niveaux de difficulté annoncés, il faudrait plutôt rajouter un $[\dagger]$ aux 9/ et 10/ je pense. Je vais le faire.
J'avais demandé comment interpréter graphiquement que $f \circ g = g \circ f$ et personne n'avait encore rien dit. Pour moi, ça ne me paraît pas clair que $f$ et $g$ traversent forcément la première bissectrice uniquement avec cette condition...
Sur un dessin c'est trivial, mais il faut que je réussisse à le justifier. Je vais réfléchir à ça, puisque visiblement c'est le point clé.
EDIT : Poirot, au risque de me répéter au point de devenir insultant pour mes profs d'analyse en L1-L2, je n'ai pratiquement rien vu d'utile en analyse en L1-L2, chacune de mes tentatives de résoudre un exo montre qu'il y a un truc basique et/ou considéré comme "classique" que je n'ai jamais vu.
$f(0) \geqslant 0$ donc $f(0) - 0 \geqslant 0$ et $f(1) \leqslant 1$ donc $f(1) - 1 \leqslant 0$. Donc la fonction $x \longmapsto f(x)-x$ change de signe sur $[0;1]$, et comme elle est continue, le TVI assure l'existence d'un point fixe de $f$. Pffff, c'était juste ça.
Bonsoir @HP, on peut montrer que l'ensemble des points fixes de $f$ est stable par $g$ et étudier la fonction $f-g$ pour montrer qu'elle s'annule au moins une fois sur $[0;1]$
$1-$ On montre que $f$ admet au moins un point fixe.
$2-$ On montre que $F$ qui est l'ensemble des points fixes admet un plus grand et un plus petit élément.
$3-$On montre que $F$ est stable par $g$
$4-$ on conclut avec la question de @Calli .
Je vais faire la deuxième question pour t'éviter de perdre ton temps:
D'après le $1$, $F$ est non vide. En outre, on a $F\subset [0;1]$, donc $F$ est bornée. Ainsi $F$ admet une borne inférieure $a$ et une borne supérieure $b$.
Il existe donc des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ d'éléments de $F$ convergeant respectivement vers $a$ et $b$. On a $f(a_{n})=a_{n}$ et $f(b_{n})=b_{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Comme $f$ est continue, on a $f(a)=a$ et $f(b)=b$ par passage à la limite. Ainsi $a,b \in F$ donc $a=min(F)$ et $b=max(F)$
Bon, alors : on sait que $f$ admet (au moins) un point fixe. Soit $F$ l'ensemble des points fixes de $f$. Alors $F$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est bornée, donc $F$ admet une borne $\inf$ et une borne $\sup$, donc en particulier un plus petit et un plus grand élément. $F$ est stable par $g$ car pour tout $x \in F$, $x=f(x)$ et donc $g(x) = g(f(x)) = f(g(x))$, donc $g(x)$ est un point fixe de $f$, donc $g(x) \in F$.
Je ne comprends pas encore à quoi sert le fait que $F$ admet des éléments extrémaux... je pense que c'est ça qui m'empêche de conclure. J'y réfléchis encore.
Pourquoi ne pas raisonner par l’absurde avec l’indication que tu avais , c’est-à-dire celle de considérer la fonction $f-g$
Supposons que la fonction ne s’annule pas sur $[0;1]$ qu’est-ce que cela entraîne ...
$F$ admet une borne $\inf$ et une borne $\sup$, donc en particulier un plus petit et un plus grand élément.
Je n'aime pas la façon dont c'est dit. Par exemple, $]0,1[$ a des bornes inf et sup, mais ni minimum ni maximum. Il faut une justification supplémentaire ici.
Oui @calli tu as raison, je n’avais pas fait aussi attention à cette phrase de @HT. @HT, tu peux passer par la caractérisation séquentielle de la continuité pour prouver le résultat de @calli.
Ben $F$ est fermé borné, donc compact. Donc euhhhhhhhhhhhhhhh... $f$ est bornée sur $F$ et atteint ses bornes, donc $\inf(f(F)) \in F$ et $\sup(f(F)) \in F$. Mais comme $F$ est l'ensemble des points fixes de $F$, on a $f(F)=F$ et c'est bon je crois.
Il y a une méthode plus élémentaire (niveau "L1 strict") pour faire ça ?
Effectivement ! Bon, ça c'est fait et Zig a déjà répondu à ma question. Donc en principe, l'exercice est résolu.
MAIS.
Moi, ce qui m'intéresse, c'est comment on passe de l'énoncé à ces 4 étapes. Quand j'ai vu l'énoncé, je n'avais aucune idée comment commencer, et je ne vois pas ce qui aurait pu m'inciter à faire comme ça.
Je suis mal placé pour te répondre @HT, car sur la fiche que j'avais, l'exercice était constitué de 4 questions.
Je crois que les autres pourront mieux nous expliquer, moi aussi j'ai bien envie de connaître l'idée qui se cache derrière :-D
On veut $f(a)=g(a)$. Supposons l'existence d'un tel $a$ et cherchons des pistes. On a des infos sur les composées de $f$ et $g$, donc essayons de composer la relation précédente par $f$. Ça donne $f\circ f(a)=f\circ g(a)$ donc $f\circ f(a) = g\circ f(a)$. Donc, si $a$ répond à l'exercice, alors $f(a)$ aussi, donc tous les $f^{\circ n}(a)$ aussi. C'est une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0=a$. Qu'est-ce que ça nous inspire ? On sait que si $(u_n)$ converge, alors c'est vers un point fixe de $f$. On ne sais pas du tout si $(u_n)$ converge (une suite récurrente peut avoir un comportement très compliqué, même pour des fonctions simples), mais cette étude a quand même fait germer dans notre tête l'idée de regarder les points fixes de $f$. C'est vrai que si on disposait d'un nombre $a$ qui soit un point fixe de $f$ et un point fixe de $g$, on aurait $f(a)=a=g(a)$. J'en demande peut-être trop... nous verrons. En tout cas, tentons de regarder les points fixes de $f$.
Là qu'est-ce qu'on peut dire ? On a une fonction $g$, donc regardons ce qu'elle fait avec les points fixes de $f$. On observe que, si $x$ est un point fixe de $f$, alors $g(x)$ aussi. Donc tous les $g^{\circ n}(x)$ sont aussi des points fixes de $f$. Si cette suite convergeait, alors sa limite serait un point fixe de $f$ et de $g$. Ce serait vachement bien ! Mais cessons de rêver ; on ne sait pas si la suite $(g^{\circ n}(x))_n$ converge, donc mauvaise piste :-P.
Bon, supposons par l'absurde que le résultat demandé par l'énoncé est faux. Ça ne mange pas de pain. On a $f<g$ ou $g<f$ ; mettons $f<g$. Si $x$ est un point fixe de $f$, alors $x=f(x)<g(x)$. Je rappelle que $g(x)$ est un point fixe de $f$. On voudrait avoir $f(x)=g(x)$. Pour forcer la chose, il suffit qu'il n'y ait pas d'autre point fixe supérieur à $x$ que $x$. Donc on prend $x$ le max des points fixes de $f$ et banco ! Même principe si $g<f$.
J'ai écrit en mode "fil de la pensée", comme tu as tendance à faire.
J'avais pensé brièvement regarder $f \circ f$ etc, mais sans l'optique de "je cherche un point fixe", ça n'avait pas l'air d'aller quelque part. Je n'avais pas pensé à chercher une suite. Ton chemin m'a l'air naturel en le lisant, mais je ne sais pas si je l'aurais trouvé naturellement en cherchant.
Soit $n \geqslant 1$. Posons $f_n(x) = -1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n x^k = -1 + x + ... + x^n$. Alors $f'_n(x) = 1 + ... + nx^{n-1}$.
Donc pour tout $n \geqslant 1$ et tout $x \geqslant 0$, $f'_n(x) \geqslant 1 > 0$ et donc $f_n$ est strictement croissante sur $[0;\infty[$. Comme, pour tout $n \geqslant 1$, on a $f_n(0) = -1$ et $f_n(2) \geqslant 1$, le TVI assure l'existence et l'unicité de $x_n$ tel que $f_n(x_n)=0$.
On sait même déjà que la suite $(x_n)_n$ est bornée. Pour qu'elle converge, il suffit donc qu'elle soit monotone.
Graphiquement, je suis à peu près certain qu'elle décroît. Reste à le montrer.
Par contre l'histoire du "terme suivant du développement asymptotique", j'avoue ne pas avoir compris la question...
Trouver le terme suivant du développement asymptotique ça veut dire écrire $x_n$ sous la forme $x_n = \ell +\varepsilon_n +o(\varepsilon_n)$ avec $\ell = \lim x_n$ et $(\varepsilon_n)$ une suite exprimée avec les suites usuelles (du style $\frac1{2n}$, $\frac{(-1)^n \ln(n)}n$...) qui tend vers 0. C'est $(\varepsilon_n)$ le deuxième terme du DA.
Par exemple, un DA (développement asymptotique) de $n!$ à deux termes est $\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n\left[1+\frac1{12n}+o\left(\frac1n\right)\right]$ (en l’occurrence, on factorise pour simplifier l'expression).
En étant mieux réveillé : $x_n$ est l'unique solution positive de $\displaystyle \sum_{k=1}^n x^k = 1$. Si la suite $(x_n)_n$ converge vers un réel $l$, alors quand $n$ tend vers l'infini, on regarde l'équation $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} l^k = 1$, c'est-à-dire de $\dfrac{1}{1-l} -1 = 1$, donc la limite ne peut être que $l=\dfrac{1}{2}$.
Bon, il faut encore que je montre que la suite $(x_n)_n$ décroît, quand même. Mais au moins j'ai la limite.
Il est pertinent d'étudier la fonction $f_n:x\mapsto\sum_{k=1}^nx^k$ (monotonie) et de la comparer avec $f_{n+1}$. Puis utiliser la comparaison obtenue en évaluant ça en $x_n$ ou $x_{n+1}$ et utiliser la monotonie de $f_n$ ou $f_{n+1}$ pour comparer $x_n$ et $x_{n+1}$.
J'ai déjà calculé la dérivée, et ça montre que $f'_{n+1} > f'_n$ sur $]0;\infty[$. Comme $f_n(0) = f_{n+1}(0)=-1$, "c'est garanti" que $x_n < x_{n+1}$, mais j'aimerais trouver le moyen de le rédiger proprement.
Je suis en train de chercher comment trouver le développement asymptotique. En bidouillant l'expression $x_n - \frac{1}{2}$ je ne vois pas comment faire apparaître une fonction explicite de $n$. Avec un DL peut-être. J'ai essayé vite-fait au brouillon, ça ne m'a pas vraiment inspiré... il va falloir encore chercher.
Pourquoi ce que j'ai dit ne suffit pas ? Si la limite existe, j'ai montré que c'est forcément $1/2$, j'ai montré que la suite est bornée, et qu'elle est décroissante. Qu'est-ce qui ne te convient pas ?
Tu as écrit que la limite vérifie $\sum\limits_{k=1}^{\infty} l^k = 1$, mais pourquoi ? Il y a deux passages à la limite imbriqués : $x_n\to l$ et $\sum\limits_{k=1}^n x^k \to \sum\limits_{k=1}^\infty x^k$. Donc ça demande une justification à mon avis.
D'accord avec Calli sur ce coup. La justification n'est pas difficile cependant, vu que (sauf erreur) \[1=\sum_{k=1}^nx_n^k=\frac{1-x_n^n}{1-x_n}-1.\]Il sagit donc simplement de justifier que $\lim_{n\to+\infty}x_n^n=0$.
Réponses
PS. par contre je ne sais pas si c'est la façon la plus simple de procéder...
PS: En fait, en y repensant, cet exercice n'est peut-être pas plus difficile que les exercices sans "$[\dagger]$". Mais ça n'est pas facile de juger la difficulté des exos car ça dépend de la personne qui essaie de le résoudre.
EDIT : Poirot, au risque de me répéter au point de devenir insultant pour mes profs d'analyse en L1-L2, je n'ai pratiquement rien vu d'utile en analyse en L1-L2, chacune de mes tentatives de résoudre un exo montre qu'il y a un truc basique et/ou considéré comme "classique" que je n'ai jamais vu.
Donc je vais donner des indices aussi à @HP.
$1-$ On montre que $f$ admet au moins un point fixe.
$2-$ On montre que $F$ qui est l'ensemble des points fixes admet un plus grand et un plus petit élément.
$3-$On montre que $F$ est stable par $g$
$4-$ on conclut avec la question de @Calli .
D'après le $1$, $F$ est non vide. En outre, on a $F\subset [0;1]$, donc $F$ est bornée. Ainsi $F$ admet une borne inférieure $a$ et une borne supérieure $b$.
Il existe donc des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ d'éléments de $F$ convergeant respectivement vers $a$ et $b$. On a $f(a_{n})=a_{n}$ et $f(b_{n})=b_{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Comme $f$ est continue, on a $f(a)=a$ et $f(b)=b$ par passage à la limite. Ainsi $a,b \in F$ donc $a=min(F)$ et $b=max(F)$
Je ne comprends pas encore à quoi sert le fait que $F$ admet des éléments extrémaux... je pense que c'est ça qui m'empêche de conclure. J'y réfléchis encore.
Supposons que la fonction ne s’annule pas sur $[0;1]$ qu’est-ce que cela entraîne ...
Je n'aime pas la façon dont c'est dit. Par exemple, $]0,1[$ a des bornes inf et sup, mais ni minimum ni maximum. Il faut une justification supplémentaire ici.
@HT, tu peux passer par la caractérisation séquentielle de la continuité pour prouver le résultat de @calli.
Il y a une méthode plus élémentaire (niveau "L1 strict") pour faire ça ?
MAIS.
Moi, ce qui m'intéresse, c'est comment on passe de l'énoncé à ces 4 étapes. Quand j'ai vu l'énoncé, je n'avais aucune idée comment commencer, et je ne vois pas ce qui aurait pu m'inciter à faire comme ça.
C'est un peu tordu comme façon de faire, utiliser le théorème de compacité ici. Je dirais plus simplement que tout compact de $\Bbb R$ possède un min et un max (le montrer si besoin). Et on l'applique à $F$ qui est compact.
Je crois que les autres pourront mieux nous expliquer, moi aussi j'ai bien envie de connaître l'idée qui se cache derrière :-D
Ok. Oublions la solution de cet exercice et essayons de la retrouver par un chemin naturel.
On veut $f(a)=g(a)$. Supposons l'existence d'un tel $a$ et cherchons des pistes. On a des infos sur les composées de $f$ et $g$, donc essayons de composer la relation précédente par $f$. Ça donne $f\circ f(a)=f\circ g(a)$ donc $f\circ f(a) = g\circ f(a)$. Donc, si $a$ répond à l'exercice, alors $f(a)$ aussi, donc tous les $f^{\circ n}(a)$ aussi. C'est une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0=a$. Qu'est-ce que ça nous inspire ? On sait que si $(u_n)$ converge, alors c'est vers un point fixe de $f$. On ne sais pas du tout si $(u_n)$ converge (une suite récurrente peut avoir un comportement très compliqué, même pour des fonctions simples), mais cette étude a quand même fait germer dans notre tête l'idée de regarder les points fixes de $f$. C'est vrai que si on disposait d'un nombre $a$ qui soit un point fixe de $f$ et un point fixe de $g$, on aurait $f(a)=a=g(a)$. J'en demande peut-être trop... nous verrons. En tout cas, tentons de regarder les points fixes de $f$.
Là qu'est-ce qu'on peut dire ? On a une fonction $g$, donc regardons ce qu'elle fait avec les points fixes de $f$. On observe que, si $x$ est un point fixe de $f$, alors $g(x)$ aussi. Donc tous les $g^{\circ n}(x)$ sont aussi des points fixes de $f$. Si cette suite convergeait, alors sa limite serait un point fixe de $f$ et de $g$. Ce serait vachement bien ! Mais cessons de rêver ; on ne sait pas si la suite $(g^{\circ n}(x))_n$ converge, donc mauvaise piste :-P.
Bon, supposons par l'absurde que le résultat demandé par l'énoncé est faux. Ça ne mange pas de pain. On a $f<g$ ou $g<f$ ; mettons $f<g$. Si $x$ est un point fixe de $f$, alors $x=f(x)<g(x)$. Je rappelle que $g(x)$ est un point fixe de $f$. On voudrait avoir $f(x)=g(x)$. Pour forcer la chose, il suffit qu'il n'y ait pas d'autre point fixe supérieur à $x$ que $x$. Donc on prend $x$ le max des points fixes de $f$ et banco ! Même principe si $g<f$.
J'ai écrit en mode "fil de la pensée", comme tu as tendance à faire.
Soit $n \geqslant 1$. Posons $f_n(x) = -1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n x^k = -1 + x + ... + x^n$. Alors $f'_n(x) = 1 + ... + nx^{n-1}$.
Donc pour tout $n \geqslant 1$ et tout $x \geqslant 0$, $f'_n(x) \geqslant 1 > 0$ et donc $f_n$ est strictement croissante sur $[0;\infty[$. Comme, pour tout $n \geqslant 1$, on a $f_n(0) = -1$ et $f_n(2) \geqslant 1$, le TVI assure l'existence et l'unicité de $x_n$ tel que $f_n(x_n)=0$.
On sait même déjà que la suite $(x_n)_n$ est bornée. Pour qu'elle converge, il suffit donc qu'elle soit monotone.
Graphiquement, je suis à peu près certain qu'elle décroît. Reste à le montrer.
Par contre l'histoire du "terme suivant du développement asymptotique", j'avoue ne pas avoir compris la question...
Bon, il faut encore que je montre que la suite $(x_n)_n$ décroît, quand même. Mais au moins j'ai la limite.
Je refais avec mes fonctions à moi.
$f_n(x_n) = -1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n (x_n)^k = 0 = -1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} (x_{n+1})^k = f_{n+1}(x_{n+1})$.
$f_n(x_{n+1}) = 1 - (x_{n+1})^{n+1} < 1 = f_n(x_n)$ donc par croissance de $f_n$ on a bien $x_{n+1} \leqslant x_n$.
Pour la suite du DA, il peut être bien d'utiliser la formule d'une somme géométrique finie. Ça donnera une autre équation pour $x_n$.