Exercices : max min sup inf
Réponses
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$(x_n)_n$ qui tend vers $\ell = \frac{1}{2}$, ça on l'a expliqué.
Les séries géométriques convergent pour tout $|x| < 1$, ici c'est bien le cas puisque je me place sur $[0;1[$. J'ai une série de fonctions qui converge sur $[0;1[$, visuellement elle converge même uniformément mais je ne l'ai pas démontré. En tout cas, la continuité de la limite devrait me servir à justifier les choses proprement...
EDIT : MC a posté entre temps. J'y retourne plus tard. -
Non, la suite des sommes partielles ne converge pas uniformément sur $\left[0,1\right[$. En revanche, la convergence est uniforme sur tout compact de $\left[0,1\right[$, et l'argument est essentiellement le même que ce dont tu as besoin pour montrer que $\lim x_n^n=0$.
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Effectivement, il devrait y avoir un problème au point $1$, d'où pas de convergence uniforme. Il faut que je recommence proprement.
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Je reviens ici après un moment... j'aimerais faire le 8/ mais l'équivalent est en quel point ?
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En $+\infty$, la fonction $x \mapsto f(x) \int_x^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}t$ est continue en $0$.
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(tu) en $+\infty$.
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Pourquoi "la fonction [...] est continue en 0" ? C'est quoi le rapport ?
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$x \mapsto f(x) \int_x^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}t$ est continue en 0, donc bornée au voisinage de 0, et $x\mapsto \frac1{x^\alpha}$ tend vers $+\infty$ en 0. Donc les deux ne peuvent pas être équivalents en 0. Si l'équivalent était en 0, la réponse à l'exercice serait $f\in\varnothing$. Ça ne serait pas passionnant. B-)-
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Bon alors... pour cet exercice 8/.
J'ai écrit qu'il faut qu'on ait $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{\alpha}f(x) \int_x^{\infty}f(t)^2dt=1$.
Mais après... aucune idée. Je ne vois pas comment utiliser les hypothèses (positivité de $f$, continuité de $f$, positivité de $\alpha$).
EDIT : ajout du carré qui manquait. -
Soit $F : x\mapsto \int_x^\infty f^2(t)\,{\rm d}t$. Réfléchi uniquement en terme de $F$, en faisant disparaître $f$ (sauf au moment de la conclusion où $f$ devra revenir). C'est comme ça que j'avais fait pour résoudre l'exo et ça marchait bien.
PS: Les hypothèses sur $f$ n'ont pas énormément d'importance ici. Elles permettent d'appliquer les théorèmes qu'on a envie d'appliquer, mais elles n'aiguillent pas vraiment vers la solution. -
J'avais envisagé d'utiliser la fonction $x \longmapsto \displaystyle \int_0^x f(t)^2 dt$ puisque je sais dire plus de choses dessus (théorème fondamental de l'analyse), mais au final ça complique les notations.
En termes de $F$, je dois donc trouver $F$ telle que $F(x)\sqrt{-F'(x)} \sim \dfrac{1}{x^{\alpha}}$. $F$ doit être continue, positive, décroissante, de limite nulle à l'infini. On verra si ça finira par m'inspirer. -
Tu es bien parti avec $F(x)\sqrt{-F'(x)} \sim \dfrac{1}{x^{\alpha}}$.
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J'avais envie de faire le raisonnement suivant, mais je ne sais pas si on a le droit de dériver des équivalents (ça m'étonnerait, sinon je pense que j'aurais ça dans un bouquin quelque part). Est-ce que ça existe ?
Raisonnement pseudo-mathématique : Si $F(x) \sim x^{\beta}$, alors $F'(x) \sim x^{\beta-1}$, donc $\sqrt{-F'(x)} \sim x^{\beta/2}$, et donc $F(x)\sqrt{-F'(x)} \sim x^{3 \beta/2}$, d'où $3 \beta/2 = \alpha$, donc $\beta = 2 \alpha /3$.
Cela dit, même heuristiquement, il n'y a aucune raison que ça vale quoi que ce soit comme raisonnement. Et puis même, si $\displaystyle \int_x^{\infty}f(t)^2dt=x^{2\alpha/3}$, je ne sais pas si je peux trouver $f$ grâce à ça...
Enfin bon, si quelqu'un peut m'expliquer (trouver un contre-exemple, un contre-argument...) pourquoi on ne peut pas dériver des équivalents, ça m'aura au moins appris quelque chose d'essayer ça. -
contre-exemple : $\dfrac{\sin(x^2)}{x}\sim 0$ mais pas les dérivées.
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Dériver les équivalents, c'est interdit. Par exemple, $x+\sin(x^2) \sim x$ alors que $1+2x \cos(x^2) \not\sim 1$ (en $+\infty$). En revanche, on peut les intégrer sous certaines conditions.Homo Topi a écrit:Cela dit, même heuristiquement, il n'y a aucune raison que ça vale quoi que ce soit comme raisonnement.
Surtout vu la façon dont tu as dérivé (où est passée la constante ?) et appliqué la racine ($\sqrt{-x^{\beta-1}}=x^{\beta/2}$ ?). (:P)X:-( -
HT
On ne peux pas dériver les équivalents exemple $e^x\sim 1 en 0$, mais on peut "primitiver" les équivalents dans le cas d'un signe constant proposition 10 http://les.mathematiques.free.fr/pdf/ch2.
edit grillé doublement par raoul et CalliLe 😄 Farceur -
Pour la racine, oui, le $\beta-1$ s'est transformé en $\beta$, je n'ai pas fait attention quand j'ai tapé. La constante, je l'ai virée parce qu'à $\epsilon$ près, je me suis dit que ça ne changeait rien.
Enfin bref, on n'a pas le droit de le faire. Le contrexemple de gebrane est le plus évocateur, j'aurais dû y penser moi-même, à celui-là. -
Amathoue c'est une coquille, il voulait dire sûrement
$$\frac{\sin x^2}x\sim^0 x$$Le 😄 Farceur -
Non, c'est Amathoué qui a raison. $f$ est équivalente à $g$ s'il existe $h$ tendant vers 1 et un voisinage du point en lequel on regarde l'équivalent (présentement $+\infty$) tels que $f(x)=h(x)g(x)$ pour tout $x$ dans le voisinage. Donc être équivalent à 0, c'est être nul sur un voisinage du point où l'on regarde.
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Bonjour, dans le même thème (min, max).
Pour $a_1,\ldots,a_n$ des réels $>0$, avec $n$ entier $\geq1$, calculer
$$\int_{[0,1]^n}\displaystyle\max_{1\leq i\leq n}x_i^{a_i} \ dx_1\ldots dx_n$$ -
En attendant...
Je voulais écrire que si $F(x)\sqrt{-F'(x)} \sim \dfrac{1}{x^{\alpha}}$, alors $\sqrt{-F'(x)} \sim \dfrac{1}{x^{\alpha}F(x)}$, mais comme $F$ doit avoir une limite nulle à l'infini, je n'ai pas la garantie qu'elle ne s'annule pas sur un voisinage de l'infini. Donc potentiellement, je n'ai pas le droit de faire ça. -
Homo Topi : Passe l'équivalent au carré.
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En fait, je voulais d'abord diviser par $F$, puis passer au carré, ça m'aurait donné $F'(x) \sim \dfrac{-1}{x^{2\alpha}F^2(x)}$. J'espérais reconnaître une dérivée intéressante, mais il n'y a pas de raison que je puisse diviser, donc je suis bloqué. Et sans diviser, je ne sais pas trop, parce que $-F'(x)F^2(x) \sim \dfrac{1}{x^{2\alpha}}$ ça ne m'inspire pas.
EDIT : en tout cas, si l'on étudie l'équation différentielle $F'(x) = \dfrac{-1}{x^{2\alpha}F^2(x)}$, alors $F(x) := \sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{\dfrac{3}{2\alpha-1}}x^{\frac{1-2\alpha}{3}}$ est solution (quand $\alpha \neq \dfrac{1}{2}$ en tout cas, je n'ai pas encore étudié le cas restant). A voir si c'est utile... -
Il y a une dérivée intéressante à reconnaître dans $-F'(x)F^2(x) \sim \dfrac{1}{x^{2\alpha}}$ !
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Je viens d'éditer mon message. Pour la tienne, c'est la dérivée de $-\dfrac{F^3}{3}$. Et après, on intègre l'équivalent, j'imagine ?
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Oui ! (en vérifiant qu'on a le droit ici d'intégrer l'équivalent)
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Les deux fonctions sont positives, donc de signe constant au voisinage de l'infini, donc on a le droit d'intégrer.
Donc $- \dfrac{F^3(x)}{3} \sim \dfrac{x^{1-2\alpha}}{1-2\alpha}$. En bidouillant un peu plus : $F(x) \sim \sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{\dfrac{3}{2\alpha-1}}x^{\frac{1-2\alpha}{3}}$.
Maintenant, il faut repasser à $f$. Je verrai plus tard. -
Le cas $\alpha=\frac12$ à traiter séparément!Le 😄 Farceur
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Oui, je l'ai déjà dit tout à l'heure pour mon autre calcul. Je verrai.
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Le cas $\alpha = \dfrac{1}{2}$ nous donne $-\dfrac{F^3}{3} \sim \ln(x)$, donc $F(x) \sim \sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{-3\ln(x)}$.
Bon, maintenant, $F(x) = \displaystyle \int_x^{\infty}f(t)^2dt$... -
gebrane : Je dis qu'il est faux. :-D
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gebrane : regarde ça.
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Le 😄 Farceur
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gebrane : En fait, ton exo est pire que faux, il est mal posé. J'avais trouvé les contre exemples f(x)=x et g(x)=x+1, mais je me rends compte que les composées de f et g ne sont pas forcément bien définies.
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Ce n'est pas bizarre, ça veut juste dire que ce n'est pas simple.
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Homo Topi bizarre en référence à cette réponse de Calli http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1940756,2066546#msg-2066546 dans le sens que je n'ai pas un contre exemple. La condition fog=gof sur [0,1] est très restrictiveLe 😄 Farceur
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gebrane, as-tu lu ce que j'ai écrit ? Si $f$ ou $g$ n'est pas à valeurs dans $[0,1]$, alors $g\circ f$ ou $f\circ g$ n'est pas bien définie. Donc il faut prendre $f,g\in{\cal C}([0,1],[0,1])$ et pas ${\cal C}([0,1],\Bbb R)$.
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Calli, j' ai répondu à HT pour expliquer le mots bizarre que j'ai utilisé après ton premier post et non pas le deuxième.Effectivement la condition sur la composé entraînent que f et g à valeurs dans [0,1]Le 😄 Farceur
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D'accord.
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Reprenons.
Le premier cas d'abord : $F(x) := \displaystyle \int_x^{\infty}f^2(t)dt \sim s^{1/3}x^{-1/s}$, avec $s := \dfrac{3}{2\alpha -1}$. Je simplifie les notations parce que voilà.
En principe, je peux dire que je cherche $f$ telle que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} s^{-1/3}x^{1/s} \int_x^{\infty}f^2(t)dt = 1$, puisque $x \longmapsto s^{1/3}x^{-1/s}$ ne s'annule pas au voisinage de l'infini. Pour l'instant, j'espère qu'on n'a pas à distinguer selon les valeurs de $s$ (enfin $\alpha$ quoi), mais je suis à peu près certain que c'est un passage obligé
J'ai une idée visuelle : l'intégrale se fait sur un domaine de plus en plus petit au fur et à mesure que $x$ augmente. Si $x^{1/s}$ tend vers l'infini (donc $s \geqslant 1$), il faut que l'intégrale diminue assez vite pour que la limite soit $1$. Si $x^{1/s}$ tend vers $0$ (donc $s > 1$), il faut que l'intégrale diminue assez lentement pour que la limite soit $1$. C'est peu, mais c'est un début.
En vrai, un truc de la forme $g(x) \displaystyle \int_x^{\infty}h(t)dt$, je ne sais pas trop quoi faire avec, c'est la première fois que je tombe dessus... -
Je rappelle que $f(x) \,F(x)\sim\frac1{x^\alpha}$.
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Et $f(x)F(x) \sim f(x) \sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{\dfrac{3}{2\alpha-1}}x^{\frac{1-2\alpha}{3}}$, aussi. Du coup, $f(x)\sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{\dfrac{3}{2\alpha-1}}x^{\frac{1-2\alpha}{3}} \sim x^{-\alpha}$ par transitivité.
Donc $f(x) \sim \sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{\dfrac{2\alpha-1}{3}}x^{-(\alpha+1)/3}$. On peut faire plus que ça (à part traiter le cas $\alpha = \dfrac{1}{2}$) ? -
Avec la même méthode, le cas $\alpha = \dfrac{1}{2}$ donne :
$\dfrac{1}{x^{\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \sim f(x) \sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{-3\ln(x)}$ et donc $f(x) \sim \dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}3]{-3\ln(x)}}$. -
Tu as trouvé que $$f(x) \int_x^\infty f^2(t)\,{\rm d}t \sim \frac1{x^\alpha} \quad \Longrightarrow\quad f(x) \sim \left\{\begin{array}{cl}\sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}\scriptstyle{3}]{\dfrac{2\alpha-1}{3}}x^{-(\alpha+1)/3}, &\text{si }\alpha\neq \frac12 \\
\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt[\leftroot{12}\uproot{1}\scriptstyle{3}]{-3\ln(x)}}, &\text{si }\alpha=\frac12 \end{array}\right.$$ C'est l'analyse. Maintenant fais la synthèse : la réciproque est-elle vraie ? Quand est-elle vraie ? Et conclus en fonction de la valeur de $\alpha$. -
Si $\alpha \neq \dfrac{1}{2}$ : $f(t) \sim \sqrt[\leftroot{12}\uproot{3}\scriptstyle{3}]{\dfrac{2\alpha-1}{3}}t^{-(\alpha+1)/3}$, alors $f(t)^2 \sim \bigg(\dfrac{2\alpha-1}{3}\bigg)^{2/3}t^{-2(\alpha+1)/3}$, j'ai appris qu'on peut primitiver des équivalents mais est-ce qu'on peut les intégrer ?
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Quelle différence ici ? ::o Oui, on peut intégrer les équivalents (sous les conditions donnés par les bons théorèmes).
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Ben je les ai pas, les théorèmes, justement. Les fonctions sont positives et on intègre sur un voisinage du "point" où on prend l'équivalent, ça suffit ?
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