Inégalité sur $L^p$

Bonjour à tous. Ma question peut paraître bizarre, mais j'ai un problème pour répondre à une question donnée dans la série d'exercices donnée par le prof. En effet, on considère une $\sigma$-algèbre dénombrablement engendrée par les sous ensembles d'un ensemble $S$. On considère l'espace des mesures $\sigma$-finie (non nécessairement positives) de norme finie où la norme est donnée comme suit : $\|\mu\|_{q}=(\int_{S} |\dfrac{d\mu}{d\nu}|^{q}d\nu)^{1/q}$, où $\nu$ est une mesure de probabilité sur $S$ avec $1<q<+\infty$. L'espace dual de cet espace de mesure peut être identifié à l'espace des fonctions muni de la norme habituelle $\|f\|_{p}=(\int_{E} |f|^pd\mu)^{1/p}$ avec $1/p+1/q =1$. On définit l'espace des opérateurs $K$ de norme induite par celle de l'espace de mesures précédent qui agit à gauche sur cet espace de mesure et à droite sur celui des fonctions par les opérations habituelles $Kf(x)=\int_{S}K(x,dy)f(y)$ et $\mu K (A)=\int_{S}K(x,A)d\mu$. Il nous donne les inégalités suivantes :

1) $|Kf(x)|\le \|K\|_{q}\|f\|_{p}$
2) $\|Kf\|_{p}\le \|K\|_{q}\|f\|_{p}$
3) $ \|Kf\|_{p}\le \|K\|_{r}\|f\|_{p}$, pour tout $r$, avec $1/r+1/p=1$
4) $|\mu f|\le \|\mu\|_{q}\|f\|_{p}$
5) $\|\mu K\|_{q}\le \|K\|_{r}\|\mu\|_{q}$, pour tout $r$, avec $1/r+1/q=1$
6) $ \|\mu K\|_{q}\le \|K\|_{p}\|\mu\|_{q} $

La question est de donner les inégalités vraies en les démontrant. Si aucune d'elles n'est vraie, alors il nous demande de corriger les inégalités donnant $\|\mu K\|_{q}$ et $\|Kf\|_{p}$ en les démontrant. La questions paraît simple, mais je n'arrive guère à trouver la réponse. La seule qui est facile c'est l'inégalité 4 car elle découle de l'inégalité de Hölder.

Une autre question que je me pose et n'est pas posée dans le problème est la suivante : sachant exactement l'expression de la norme d'une mesure et d'une fonction pour les normes $\|\cdot\|_{q}$ et $\|\cdot\|_{p}$ respectivement, peut-on déterminer explicitement la norme de l'opérateur $K$ ?

Merci d'avance pour vos réponses et tout l'effort que vous mettez pour y répondre. C'est vraiment très aimable car j'ai trouvé sur plusieurs sections de ce forum des réponses à mes questions.