Suite homographique réelle (discriminant < 0)
Bonjour
Je suis en train de travailler sur les suites récurrentes dont les suites homographiques.
Je m'interroge sur le cas d'une suite homographique réelle dont l'équation admet un discriminant négatif (donc deux racines/points fixes complexes conjugués).
On peut prendre pour exemple la suite définie par un+1= (un-2)/(un+3) dont les points fixes sont x1=-1+i et x2=-1-i
Peut-on exprimer le terme général un en fonction de n tout en restant dans R ?
Je n'ai pas trouvé d'indication dans la littérature...
Merci.
Je suis en train de travailler sur les suites récurrentes dont les suites homographiques.
Je m'interroge sur le cas d'une suite homographique réelle dont l'équation admet un discriminant négatif (donc deux racines/points fixes complexes conjugués).
On peut prendre pour exemple la suite définie par un+1= (un-2)/(un+3) dont les points fixes sont x1=-1+i et x2=-1-i
Peut-on exprimer le terme général un en fonction de n tout en restant dans R ?
Je n'ai pas trouvé d'indication dans la littérature...
Merci.
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Réponses
Pour trouver un expression ne faisant intervenir que des coefficients réels, on peut tout à fait reproduire les raisonnements des suites homographiques avec des racines réelles distinctes en travaillant simplement dans $\mathbb{C}$, puis revenir dans $\mathbb{R}$.
Pose $v_{n}=\frac{u_{n}-z}{u_{n}-\overline{z}}$ où $z$ est une racine, vérifie qu'elle est géométrique ($v_{n+1}=\frac{f(u_{n})-z}{f(u_{n})-\overline{z}}=\frac{f(u_{n})-f(z)}{f(u_{n})-f(\overline{z})}=...=qv_{n}$), inverse là pour obtenir une expression de $u_{n}$ selon sa raison $q\in \mathbb{C}$ (quelque chose comme $u_{n}=\frac{v_{n}\overline{z}-z}{v_{n}-1}=\frac{v_{0}q^{n}\overline{z}-z}{v_{0}q^{n}-1}$). L'expression obtenue est réelle (et donc égale à sa partie réelle, que tu peux calculer).
Je suis plutôt d'accord avec la plupart des arguments évoqués (la suite reste réelle si le premier terme l'est par récurrence, la raison est dans C, le retour dans R,...)
Sauf que, compte-tenu de l'expression générale de un, je n'arrive pas à démontrer que le résultat est bien dans R ( ou du moins je ne vois pas pourquoi ça l'est...)
Il me parait agréable, pour mener ces calculs, d'exploiter le morphisme de $\mathrm{GL}_2(\R) $ dans le groupe des homographies. Plus précisément :
$\forall A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \in \mathrm{GL}_2 (\R),\: $ on note $ f_A:\left\{ \begin{array} {ccc} \R\cup\{\infty\} &\longrightarrow &\R \cup\{\infty\}\\ x&\longmapsto &\dfrac {ax+b}{cx+d} \end{array} \right.\:\quad$ Alors: $\quad \forall A,B \in \mathrm{GL}_2(\R),\:\: f_A \circ f_B = f_{AB}.$
Soit $ A = \begin{pmatrix} 1&-2\\1&3 \end{pmatrix}.\:$ Les valeurs propres de $A$ sont $\alpha = 2 +\mathrm i,\:\beta = 2-\mathrm i,$ associées aux vecteurs propres $(1-\mathrm i ,-1),\:( 1+ \mathrm i ,-1).$
En diagonalisant $A$ et en notant :$\:\:\forall n \in \N ,\:F_n = \dfrac {\alpha^n - \beta^n}{\alpha- \beta},$ on obtient:
$F_0 =0, \: F_1 =1, \:\forall n \in \N, \quad F_{n+2} = 4F_{n+1} - 5F_n,\quad F_n\in \Z, \quad A^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} -3F_n&-2F_n\\ F_n &F_{n+1} -F_n \\ \end{pmatrix}$, si bien que: $$ \boxed{\forall n \in \N,\quad u_n = A^n *u_0 = \dfrac {(F_{n+1}- 3 F_n)\:u_0 - 2F_n}{ F_n \:u_0 +(F_{n+1}- F_n)}.}$$
Bien entendu, tout cela reproduit exactement les calculs que l'on effectue lorsque l'on utilise la "suite auxiliaire" $ v_n =\dfrac {u_n - \lambda} {u_n -\mu}$, cette transformation homographique correspondant à la matrice de passage intervenant dans la diagonalisation de $A$.
Merci pour la réponse, c'est vrai qu'avec l'exemple que j'ai donné, c'est un démarche plus confortable. J'ai quelques lacunes (notamment concernant l'introduction du Fn...) mais j'ai compris la démarche dans l'ensemble.
Un peu plus compliqué pour le cas général où il semble nécessaire de revenir à l'expression de Un proposée par POLKA.
Mais je ne vois pas de façon "simple" de démontrer que ce résultat est bien dans R (malgré les racines complexes conjuguées). 8-)
Je veux juste revenir sur ta question, qui semble persister: pourquoi le résultat est-il dans $\mathbb{R}$ ? On ne s'embête généralement pas à le montrer avec la formule finale (surtout si elle fait intervenir pleins de complexes) puisqu'on le sait déjà (la fameuse récurrence immédiate sur la définition de la suite, aussi visible immédiatement sous la forme $f_{A^{n}}$).
Maintenant, si on aime faire des calculs (à mon avis, c'est dommage au vu de la simplicité de la question), on doit pouvoir retomber sur ses pattes !
La question est plutôt de justifier à l'aide d'arguments simples que l'expression du terme général est bien dans R, ce qui demande d'assez lourde manipulation de calculs... ou bien des "astuces" que je ne vois pas. 8-)
Je me demandais en fait si ça pouvait faire l'objet d'une question d'un jury à l'oral d'un concours...
Mais bon je ne suis pas certain qu'il y ait tant à justifier sur les suites homographiques.
A voir...
Je considère qu'il s'agit de "l'astuce" en question. Simple et efficace.
Merci à vous deux (POLKA et LOU16) pour ces précisions fort utiles.
Problème résolu. (tu)