Rayon de convergence

michal · February 2020

Bonjour

Soit la série entière $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n$de rayon de convergence $R$ et $g$ une fonction développable en série entière en 0 telle que $g(0)=0$. On sait alors que $f\circ g$ est développable en série entière en 0 : $$
f\big(g(z)\big)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_nz^n

$$ Le rayon $R'$ de convergence de la série entière $\sum_{n\geqslant 0} b_nz^n$ est-il égal à : $$
\sup\{|z| \mid |g(z)|<R\}
.
$$ Merci d'avance pour vos réponses,
Michal

Calli · February 2020

Bonjour,
Si $f(z)=\frac1{1+z}$ et $g(z)=\frac1{1+z}-1$, alors $f\circ g(z)=1+z$ dont le rayon de convergence est infini, donc plus grand que celui de $g$, et a fortiori que ton sup.
Édit : Ou alors j'ai mal compris et la série entière de $g$ a un rayon de convergence infini (?).

michal · February 2020

Merci ! Et le rayon est-il supérieur au sup ?

Calli · February 2020

Oui, je l'ai dit.
$g$ a un rayon de convergence $1$. Donc à la place de juste $\sup\{|z| \mid z\in\mathbb C, |g(z)|<R\}$, c'est plutôt $\sup\{|z| \mid z\in\mathbb C,|z|<1\text{ et } |g(z)|<R\}$ qui a un sens. Ce sup est plus petit que $1$, tandis que le rayon de convergence de la série entière de $f\circ g$ (qui est un polynôme) est $+\infty$. Et bien évidemment $1<+\infty$.

michal · February 2020

Bien évidemment, je posais la question par rapport au cas général, pas par rapport à ton exemple...

Rayon de convergence

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