Suite de fonctions
Bonjour !! J'ai un souci.
On désigne par $E=([0,1], \R)$ le $ \R$-espace vectoriel des fonctions continues sur $ [0,1]$ à valeurs dans $\R$. On pose \[ d'(f,g)= \int_0^1 |f(x)-g(x)|dx .
\] Montrer que $(E,d')$ n'est pas complet (indication : on pourra considérer $f_{n}= \frac {nx^2}{1+nx}$).
Pour résoudre cet exercice, je pense qu'il faut montrer que $(f_{n})$ est une suite de Cauchy qui ne converge pas dans $(E,d')$.
J'ai réussi à montrer que c'est une suite de Cauchy, mais je ne sais pas comment montrer qu'elle ne converge pas dans $(E,d')$.
Besoin d'aide svp.
On désigne par $E=([0,1], \R)$ le $ \R$-espace vectoriel des fonctions continues sur $ [0,1]$ à valeurs dans $\R$. On pose \[ d'(f,g)= \int_0^1 |f(x)-g(x)|dx .
\] Montrer que $(E,d')$ n'est pas complet (indication : on pourra considérer $f_{n}= \frac {nx^2}{1+nx}$).
Pour résoudre cet exercice, je pense qu'il faut montrer que $(f_{n})$ est une suite de Cauchy qui ne converge pas dans $(E,d')$.
J'ai réussi à montrer que c'est une suite de Cauchy, mais je ne sais pas comment montrer qu'elle ne converge pas dans $(E,d')$.
Besoin d'aide svp.
Réponses
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Je te suggère plutôt de considérer pour tout $n \geq 1$, $$f_n : x \mapsto \begin{cases} 0, &\text{si } 0 \leq x \leq \frac{1}{2},\\n\left(x - \frac{1}{2}\right),& \text{si } \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{n},\\ 1, &\text{sinon.}\end{cases}$$
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D'accord. Mais mon souci n'est pas la fonction à utiliser, mais plutôt comment montrer que la suite de fonctions choisie n'est pas convergente pour $d'$.
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Parce que la plupart du temps, on utilise la distance usuelle sur $\R$ , mais ici on a une distance différente.
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Suppose par l'absurde qu'il existe une fonction continue $f$ telle que $d'(f_n, f) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et essaye d'en déduire des choses contradictoires avec la continuité de $f$.
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je ne sais pas comment montrer qu'elle ne converge pas dans $(E,d')$.
C'est normal. C'est parce qu'elle converge dans $(E,d')$ (vers $x\mapsto x$). Il doit y avoir une erreur dans l'expression de $f_n$. Regarde plutôt le contre-exemple de Poirot. -
Et fais un dessin du graphe de (mon) $f_n$ pour voir où la contradiction va apparaître.
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Moi j'ai fait cela aussi (limite simple).
Ensuite, il suffit de vérifier si ça converge avec cette fonction ($x \mapsto x$).
Si ça converge, alors l'exercice contient une erreur.
Si ça ne converge pas, alors on n'a pas terminé l'exercice (on n'a rien prouvé***).
Remarque : ***sauf peut-être si on connaît des résultats ? je ne me souviens plus... -
Le but est effectivement de trouver une suite de Cauchy dont la limite n'est pas dans $E$ (c'est-à-dire n'est pas une fonction continue sur $[0, 1]$).
Je pense par contre que tu as fait une erreur de typo : les fonctions proposées sont plutôt $f_{n}: x \mapsto \dfrac{nx}{1+nx^{2}}$ je pense. (Sinon effectivement, il n'y a pas de problème, cela converge vers l'identité).
Prends plutôt celles qui t'ont été proposées par les autres membres. -
Et pourquoi pas $f_n:x\mapsto x^n$ ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1942430,1942438#msg-1942438
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Il n'y pas problème sur cette suite concernant la continuité en 1 ? -
@Poirot: Mais la fonction vers laquelle est converge n'est pas continue, c'est bien l'objectif.
-
@Kgc: Non, tu peux dessiner les premiers termes pour voir comment cette suite évolue.
Edit: Oui, je n'avais pas lu tout le message avant de répondre, autant pour moi ! -
Bonsoir. Svp j'ai toujours un problème sur cet exercice.
j'ai bien vérifié que la fonction que @Poirot m'a proposé est de Cauchy pour $d'$ , et pour montrer que $(E,d')$ n'est pas complet , j'ai essayé de passer par l'absurde comme m'a proposé @Poirot, mais je ne vois pas d'où peut sortir une contradiction.
Voici ce que j'ai fait.
Supposons qu'il existe une fonction $f$ continue telle que \[ \lim_{ n \to \infty} d'(f_{n},f) =0 .
\] On a \[
d'(f_{n}, f)= \int_{0}^{1/2} |f(x)| dx + \int_{1/2}^{ 1/2 + n^{-1}} |n(x-\tfrac 1 2)-f(x)|dx + \int_{1/2+ n^{-1} }^{1} |1-f(x)| dx .
\] Besoin d'aide. -
Bonjour
Soit $[a,b]$ un intervalle inclus dans $[0,1]$,
on pose $d_{a,b}(f,g)= \int_a^b |f(x)-g(x)| dx, $ ainsi $d_{a,b}(f_n,g)\leq d(f_n, g)$ tend donc vers $0$.
Prendre $[a,b]$ un intervalle quelconque qui exclut $\frac12$ et $n$ assez grand de sorte que $f_n = cste$ sur $[a,b]$.
En déduire la valeur de $g$ sur $[a,b]$, puis contradiction...
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