Soit $f$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$ , $T$-périodique, $w$ un réel non entier,
$\displaystyle g(x)=(1-x)\sum_{0}^{\infty}f(nw)x^n,$ pour $-1<x<1.$
Déterminer limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $1^{-}$
Est-ce que ça ne dépendrait pas de la rationalité de $w/T$ ?
Si $w/T$ est rationnel, la suite $(f(nw))$ est périodique et on peut faire des calculs explicites.
Dans le cas contraire, un argument d'équirépartition, le critère de Weyl, exprime que $\sum_{k=1}^nf(kw)-n\int_0^Tf=o(n)$, ce qui doit permettre de dire quelque chose.
J'aurais tendance à utiliser le théorème de Weierstrass et à approximer $f$ par une somme d'exponentielles complexes. Dans le cas des exponentielles complexes, on peut alors faire le calcul explicitement.
On a deux cas :
-ou $\frac{w}{T}\in \mathbb{Q}$ : on note alors $\frac{w}{T}=\frac{p}{q}$ où $p\wedge q=1.$
Ainsi, on obtient pour $x\in ]-1,1[$ :
\begin{align*}
g(x):=(1-x)\sum\limits_{k\geq 0}f(kw)x^{k} & =(1-x)\sum\limits_{k=0}^{q-1}f(\frac{pk}{q}T)\sum_{n\geq 0}x^{qn+l}\\
& = \frac{1-x}{1-x^{q}}\sum\limits_{k=0}^{q-1}f(\frac{pk}{q}T)x^{l}.
\end{align*}
Ainsi, dans ce cas, on obtient $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\frac{1}{q}\sum\limits_{k=0}^{q-1}f(\frac{pk}{q}T).$
--ou $\frac{w}{T}\notin \mathbb{Q}$ :
On teste alors pour $k\in \mathbb{Z},$ le résultat sur les fonctions $f_{k}$ de la forme $\displaystyle f_{k} : x\mapsto \exp(\frac{2i\pi}{T}kx).$
On obtient alors pour $x\in ]-1,1[$ et $k\in \mathbb{Z},$
\begin{align*}
(1-x)\sum\limits_{n\geq 0}f_{k}(nw)x^{n} & = (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}\left(e^{2i\pi\frac{T}{w}}x\right)^{n}\\
& =\frac{1-x}{1-e^{2i\pi\frac{T}{w}}x}\\
& \longrightarrow_{x\rightarrow 1^{-}} \begin{cases}
0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f_{k}(t)dt \mbox{ si } k\in \mathbb{Z}^{*}\\
1=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f_{0}(t)dt \mbox{ si } k=0
\end{cases}
\end{align*}
On applique alors le théorème de Weierstrass trigonométrique.
Soit $\varepsilon>0.$ Il existe $Q$ un polynôme trigonométrique ($T$-périodique) telle que $\displaystyle \|f-Q\|_{\infty,[0,T]}\leq \varepsilon.$
Il vient alors par l'inégalité triangulaire et pour $x$ proche de $1$ par valeur inférieure :
\begin{align*}
\vert g(x)-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \vert & \leq (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}\vert f(nw)-Q(nw) \vert x^{n}+ \vert (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}Q(nw)x^{n}-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Q(t)dt\vert + \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\vert f(t)-Q(t)\vert dt\\
& \leq 2\varepsilon + \vert (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}Q(nw)x^{n}-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Q(t)dt\vert.
\end{align*}
On obtient alors par le premier point de cette alternative : $\displaystyle \limsup_{x\rightarrow 1^{-}} \vert g(x)-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \vert \leq 2\varepsilon,$ puis en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0,$ $$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt.$$
Réponses
Si $w/T$ est rationnel, la suite $(f(nw))$ est périodique et on peut faire des calculs explicites.
Dans le cas contraire, un argument d'équirépartition, le critère de Weyl, exprime que $\sum_{k=1}^nf(kw)-n\int_0^Tf=o(n)$, ce qui doit permettre de dire quelque chose.
-ou $\frac{w}{T}\in \mathbb{Q}$ : on note alors $\frac{w}{T}=\frac{p}{q}$ où $p\wedge q=1.$
Ainsi, on obtient pour $x\in ]-1,1[$ :
\begin{align*}
g(x):=(1-x)\sum\limits_{k\geq 0}f(kw)x^{k} & =(1-x)\sum\limits_{k=0}^{q-1}f(\frac{pk}{q}T)\sum_{n\geq 0}x^{qn+l}\\
& = \frac{1-x}{1-x^{q}}\sum\limits_{k=0}^{q-1}f(\frac{pk}{q}T)x^{l}.
\end{align*}
Ainsi, dans ce cas, on obtient $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\frac{1}{q}\sum\limits_{k=0}^{q-1}f(\frac{pk}{q}T).$
--ou $\frac{w}{T}\notin \mathbb{Q}$ :
On teste alors pour $k\in \mathbb{Z},$ le résultat sur les fonctions $f_{k}$ de la forme $\displaystyle f_{k} : x\mapsto \exp(\frac{2i\pi}{T}kx).$
On obtient alors pour $x\in ]-1,1[$ et $k\in \mathbb{Z},$
\begin{align*}
(1-x)\sum\limits_{n\geq 0}f_{k}(nw)x^{n} & = (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}\left(e^{2i\pi\frac{T}{w}}x\right)^{n}\\
& =\frac{1-x}{1-e^{2i\pi\frac{T}{w}}x}\\
& \longrightarrow_{x\rightarrow 1^{-}} \begin{cases}
0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f_{k}(t)dt \mbox{ si } k\in \mathbb{Z}^{*}\\
1=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f_{0}(t)dt \mbox{ si } k=0
\end{cases}
\end{align*}
On applique alors le théorème de Weierstrass trigonométrique.
Soit $\varepsilon>0.$ Il existe $Q$ un polynôme trigonométrique ($T$-périodique) telle que $\displaystyle \|f-Q\|_{\infty,[0,T]}\leq \varepsilon.$
Il vient alors par l'inégalité triangulaire et pour $x$ proche de $1$ par valeur inférieure :
\begin{align*}
\vert g(x)-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \vert & \leq (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}\vert f(nw)-Q(nw) \vert x^{n}+ \vert (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}Q(nw)x^{n}-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Q(t)dt\vert + \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\vert f(t)-Q(t)\vert dt\\
& \leq 2\varepsilon + \vert (1-x)\sum\limits_{n\geq 0}Q(nw)x^{n}-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Q(t)dt\vert.
\end{align*}
On obtient alors par le premier point de cette alternative : $\displaystyle \limsup_{x\rightarrow 1^{-}} \vert g(x)-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \vert \leq 2\varepsilon,$ puis en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0,$ $$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt.$$