Wronskien

Bonjour
j'ai l'exercice suivant:
Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de l'équation
$$
(P(x) y')' +q(x) y=0
$$
sur l'intervalle $[a,b]$ avec $P(x) > 0$.
1. Montrer que $y_1$ et $y_2$ ne s'annulent pas en même temps.
2. Montrer que si $y_1$ et $y_2$ sont des solutions non triviales et linéairement dépendantes, alors elles s'annulent en même temps.

Voici ma solution:
1. Par l'absurde, on suppose que $y_1$ et $y_2$ s'annulent en même temps. Ce qui veut dire qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ tel que $y_1(x_0)= y_2(x_0)=0$. Donc on a $W[y_1,y_2](x_0)= y_1(x_0) y_2'(x_0)-y_2(x_0) y_1'(x_0)=0$ ce qui contredit le fait que $y_1$ et $y_2$ soient linéairement indépendant.

2. On suppose que $y_1,y_2 \neq 0$. $y_1$ et $y_2$ sont linéairement dépendant veut dire qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ telle que $W[y_1,y_2](x_0)= 0$. C'est à dire que $y_1(x_0) y_2'(x_0) - y_2(x_0) y_1'(x_0)=0$. Donc $y_1(x_0) y_2'(x_0)= y_2(x_0) y_1(x_0)=0$.

J'ai un petit doute: si $y_1$ et $y_2$ sont linéairement dépendent alors le Wroksien est nul quelque soit $x$, ou bien il existe un $x_0$ pour lequel le Wronksien est nul?

Cordialement