Série entière équivalent

Sauf erreur, la méthode de Laplace conduit à : $\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}\dfrac{e^{2\sqrt x}}{\sqrt[4]{x}}$.

Non, je fais juste un calcul élémentaire en découpant la somme en trois morceaux et en approchant le terme central avec un développement à l'ordre 2 (en utilisant Stirling).

C'est assez technique, donc je n'indique que les grandes lignes (la méthode de Guego est beaucoup plus élégante).

Je pose $t = \sqrt x$ pour simplifier. La formule de Stirling et un D.L. donnent : $$

\frac{t^n}{n!} = \frac1{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(t - \frac{(n-t)^2}{2t} + r(n,t)\right),

$$ où les $r(n,t)$ pour tous les entiers $n$ tels que $|n-t| \leqslant t^{3/5}$ tendent uniformément vers $0$ lorsque $t \to \infty$ . On obtient alors : \[

\sum_{|n-t| \leqslant t^{3/5}} \frac{t^{2n}}{n!^2} \sim \frac{e^{2t}}{2\pi t} \sum_{|n-t| \leqslant t^{3/5}} e^{-(n-t)^2/t} \sim \frac{e^{2t}}{2\pi t} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2/t}\,du

\] Il reste à vérifier que les termes restants sont négligeables (encore un peu de travail) [
\sum_{|n-t| > t^{3/5}} \frac{t^{2n}}{n!^2} \leqslant e^{2t - t^{1/5} + O(\ln(t))}
\]

Cher étanche, la formule de Stirling donne déjà :
\[
\frac{t^n}{n!} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\exp\left(n\ln(t) - n\ln(n) + n + o(1)\right)
\]
Il suffit alors d'effectuer un développement limité de l'exposant en posant $n = t + u$ avec $u$ négligeable devant $t$.