Série entière équivalent
Réponses
-
Une petite phrase peut-être, ou bien un début de recherche ?
-
Sauf erreur, la méthode de Laplace conduit à : $\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}\dfrac{e^{2\sqrt x}}{\sqrt[4]{x}}$.
-
Bonjour Simeon
Je suis d'accord avec toi. Mais je voudrais une précision sur comment tu procèdes.
En effet perso je comprends que tu calcules la transformée de Laplace de g (elle se simplifie bien) et donc tu exprimes g sous la forme d'une intégrale via la formule de Bromwich.
À partir de cette expression tu trouves l'équivalent.
C'est bien ça ou alors c'est différent ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Non, je fais juste un calcul élémentaire en découpant la somme en trois morceaux et en approchant le terme central avec un développement à l'ordre 2 (en utilisant Stirling).
-
Si $x>0$, on a $g(x) =I_0(2\sqrt{x})$, où $I_0$ est la fonction de Bessel définie par $I_0(x) = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle \int_0^{\pi} e^{x\cos(t)}dt$. On peut alors trouver un équivalent de $I_0(x)$, puis de $g(x)$, par la méthode de Laplace.
-
Avec Bessel modifié de première espèce on l'expression avec une intégrale, et méthode de Laplace
ça donne le résultat -
Bonjour,
est-il possible que tu précises un peu plus la méthode Siméon ? Merci ! -
C'est assez technique, donc je n'indique que les grandes lignes (la méthode de Guego est beaucoup plus élégante).
Je pose $t = \sqrt x$ pour simplifier. La formule de Stirling et un D.L. donnent : $$
\frac{t^n}{n!} = \frac1{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(t - \frac{(n-t)^2}{2t} + r(n,t)\right),
$$ où les $r(n,t)$ pour tous les entiers $n$ tels que $|n-t| \leqslant t^{3/5}$ tendent uniformément vers $0$ lorsque $t \to \infty$ . On obtient alors : \[
\sum_{|n-t| \leqslant t^{3/5}} \frac{t^{2n}}{n!^2} \sim \frac{e^{2t}}{2\pi t} \sum_{|n-t| \leqslant t^{3/5}} e^{-(n-t)^2/t} \sim \frac{e^{2t}}{2\pi t} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2/t}\,du
\] Il reste à vérifier que les termes restants sont négligeables (encore un peu de travail) [
\sum_{|n-t| > t^{3/5}} \frac{t^{2n}}{n!^2} \leqslant e^{2t - t^{1/5} + O(\ln(t))}
\] -
Merci. C'est technique mais assez joli aussi car "à la main". Effectivement une méthode de Laplace est plus rapide.
-
Cher thotho, je pense que ce serait un contresens d'opposer ce calcul à la méthode de Laplace : il s'agit bien de la même méthode, qu'on l'applique à une somme discrète ou à une intégrale. Il me semble d'ailleurs que c'est comme ceci que Laplace lui-même a démontré le théorème central limite pour la loi binomiale. L'intérêt de cette méthode artisanale est surtout de se généraliser facilement à des variantes du problème initial, par exemple :
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!^\alpha},
$$
avec $\alpha > 0$ quelconque. Je ne crois pas que l'astuce de la fonction de Bessel fonctionne encore dans ce cas. -
Cher étanche, la formule de Stirling donne déjà :
\[
\frac{t^n}{n!} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\exp\left(n\ln(t) - n\ln(n) + n + o(1)\right)
\]
Il suffit alors d'effectuer un développement limité de l'exposant en posant $n = t + u$ avec $u$ négligeable devant $t$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres