Limites pour $n\to\infty$

Tu sembles chercher des limites de suites, disons $(u_n)$ et $(v_n)$, lorsque $n$ tend vers l'infini. Pour pouvoir utiliser la règle de L'Hôpital, il faut une fonction en un point fini. La suggestion serait donc de trouver deux fonctions $f$ et $g$ telles que $u_n=f\bigl(\frac1n\bigr)$ et
$v_n=g\bigl(\frac1n\bigr)$. Si tu montres que $f$ et $g$ ont des limites en $0$ (ou $0^+$), alors tu pourras en déduire que les suites ont ces mêmes limites.

bonjour

le plus simple est d'utiliser un développement asymptotique pour chaque suite ;

$u_n = (n.sin\frac{1}{n})^{n^2}$ soit en prenant le logarithme népérien ($u_n$ est toujours positif)

$ln(u_n) = n^2.ln[n.sin\frac{1}{n}]$ soit

$lim[ln(u_n)] = lim[n^2ln(n(\frac{1}{n}- \frac{1}{6n^3})] = lim[n^2(-\frac{1}{6n^2})]= -\frac{1}{6}$

et donc $lim(u_n) = e^{-\frac{1}{6}}$

pour la seconde suite $v_n$ tu mets $n^{\frac{1}{n}}$ en facteur soit :

$v_n= n^2.n^{\frac{1}{n}}[(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} - 1]$

or $\frac{1}{n}ln(1+\frac{1}{n})$ a même limite que $\frac{1}{n^2}$ et donc :

la limite de $v_n$ est celle de $n^2.n^{\frac{1}{n}}[e^{\frac{1}{n^2}} - 1]$

soit la limite de $n^{\frac{1}{n}}$ soit 1

$lim(v_n) = 1$

cordialement

Pour la seconde limite, dont on note $(v_n)$ la suite, on a pour tout $n \geqslant 1$
$$v_n = n \int_n^{n+1} t^{1/n-1} \, \textrm{d}t.$$
Par encadrement de l'intégrale, il vient pour tout $n \geqslant 1$
$$n(n+1)^{1/n-1} \leqslant v_n \leqslant n^{1/n}.$$
Par passage à l'exponentielle, on a facilement $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{1/n}=1$. Le membre de gauche peut se réécrire en
$$n^{1/n} \left( 1 + \tfrac{1}{n} \right)^{1/n-1} \geqslant n^{1/n} \, e^{1/n^2-1/n}$$
qui, lui aussi, tend vers $1$ lorsque $n \to \infty$.