Nombres d'Euler et nombres de Bernoulli

L2M
L2M
dans Analyse
Bonsoir,

Existe-t-il une relation entre les nombres d'Euler et nombres de Bernoulli ? C'est-à-dire, une relation qui permet de calculer les nombres de Bernoulli à partir des nombres d'Euler ou inversement.

Merci.

Réponses

  • marsup
    marsup
    Oui : https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number#Euler_zigzag_numbers
  • L2M
    L2M
    Merci.
  • marsup
    marsup
    Euh, je crois que j'ai dit une grosse bêtise, en fait !

    Les "nombres zig-zag" donnent un coup sur deux "presque un nombre d'Euler"
    et l'autre fois sur deux "presque un nombre de Bernoulli".

    Mais pas une relation entre les deux !!
  • LP
    LP
    Bonsoir,
    pour tout $d\in\N$, le polynôme d'Euler d'indice $d$ est
    \[E_d:=\dfrac{2}{d+1}\sum_{k=0}^{d+1} \dbinom{d+1}{k} (1-2^{d+1-k})b_{d+1-k} X^{k}\]
    où, pour tout $k\in\{0, 1, ... , d+1\}$, $b_{d-k+1}$ est le nombre de Bernoulli d'indice $d-k+1$.
    Or, pour tout $d\in\N$, le nombre d'Euler d'indice $d$ est $e_d:=2^dE_d\left(\dfrac{1}{2}\right)$ donc...
  • L2M
    L2M
    @LP : Donc, $e_d = 2^dE_d\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2^{d+1}}{d+1}\sum_{k=0}^{d+1} \dbinom{d+1}{k} (1-2^{d+1-k})b_{d+1-k} \dfrac {1}{2^{k}}.$
    C'est-à-dire, par un simple changement d'indices,
    $$e_d =\dfrac{1}{d+1}\sum_{k=0}^{d+1} \dbinom{d+1}{k} 2^{k}(1-2^{k})b_{k}.$$

    Merci infiniment.
  • LP
    LP
    Mais de rien, c'est avec plaisir !
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