Existe-t-il une relation entre les nombres d'Euler et nombres de Bernoulli ? C'est-à-dire, une relation qui permet de calculer les nombres de Bernoulli à partir des nombres d'Euler ou inversement.
Bonsoir,
pour tout $d\in\N$, le polynôme d'Euler d'indice $d$ est
\[E_d:=\dfrac{2}{d+1}\sum_{k=0}^{d+1} \dbinom{d+1}{k} (1-2^{d+1-k})b_{d+1-k} X^{k}\]
où, pour tout $k\in\{0, 1, ... , d+1\}$, $b_{d-k+1}$ est le nombre de Bernoulli d'indice $d-k+1$.
Or, pour tout $d\in\N$, le nombre d'Euler d'indice $d$ est $e_d:=2^dE_d\left(\dfrac{1}{2}\right)$ donc...
Réponses
Les "nombres zig-zag" donnent un coup sur deux "presque un nombre d'Euler"
et l'autre fois sur deux "presque un nombre de Bernoulli".
Mais pas une relation entre les deux !!
pour tout $d\in\N$, le polynôme d'Euler d'indice $d$ est
\[E_d:=\dfrac{2}{d+1}\sum_{k=0}^{d+1} \dbinom{d+1}{k} (1-2^{d+1-k})b_{d+1-k} X^{k}\]
où, pour tout $k\in\{0, 1, ... , d+1\}$, $b_{d-k+1}$ est le nombre de Bernoulli d'indice $d-k+1$.
Or, pour tout $d\in\N$, le nombre d'Euler d'indice $d$ est $e_d:=2^dE_d\left(\dfrac{1}{2}\right)$ donc...
C'est-à-dire, par un simple changement d'indices,
$$e_d =\dfrac{1}{d+1}\sum_{k=0}^{d+1} \dbinom{d+1}{k} 2^{k}(1-2^{k})b_{k}.$$
Merci infiniment.