Équivalent d'une série de fonctions lacunaire

En découpant la somme à la bonne hauteur, on obtient $\displaystyle F(r)\sim_{1^{-}} \frac{-\ln(1-r)}{\ln(-\ln(1-r))}.$
Plus précisément, pour $N\gg 1,$ on choisit $1-\frac{1}{N!}\leq r \leq 1-\frac{1}{(N+1)!}$ pour avoir en estimant crûment :
\begin{align*}
F(r) & \geq \sum\limits_{k\leq N-1}e^{k!\ln(1-\frac{1}{N!})}\\
& \geq Ne^{-\frac{1}{N}+o(\frac{1}{N})}.\\
\mbox{ et } F(r) & \leq N+1+\sum\limits_{k\geq N+1}e^{k!\ln(1-\frac{1}{(N+1)!})}\\
& \leq N+1+\sum\limits_{k\geq N+1}e^{-\frac{k!}{(N+1)!}}\\
& \leq N+1+\sum\limits_{k\geq N+1}e^{-(N+1)^{k-(N+1)}}\\
& \leq N+1+\sum\limits_{k\geq 0}e^{-kN}\\
& \leq N+1+\frac{1}{1-e^{-N}}.
\end{align*}

Ainsi, $\displaystyle F(r)\sim_{r\rightarrow 1^{-}} N$ et par Stirling, on obtient le résultat voulu (on a : $\displaystyle -\ln(1-r)\sim_{r\rightarrow 1^{-}} N\ln(N) \mbox{ puis } \frac{-\ln(1-r)}{\ln(-\ln(1-r))}\sim N$), à savoir : $\displaystyle F(r)\sim_{1^{-}} \frac{-\ln(1-r)}{\ln(-\ln(1-r))}.$