Fonction C1 s'annulant une infinité de fois

20100N · February 2020

Bonsoir, j'ai l'exercice suivant.

Soit f une fonction C1 sur un segment [a,b] et s'annulant une infinité de fois (sur ce même segment )
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que f(c)=f'(c)=0.

Pourriez-vous me dire si ma démonstration est correcte.

Par dichotomie, on crée une suite d'intervalles de plus en plus petits sur lesquels f s'annule une infinité de fois, et donc f' aussi d'après le théorème de Rolle. En construisant deux suites (cn) et (c'n) dans mes intervalles tel que f(cn)=0=f'(c'n), puisque la suite d'intervalle ''converge" vers un singleton, (cn) et (c'n) convergent vers une même limite c d’où en utilisant l'hypothèse C1:

lim f(cn) = lim f'(cn) = 0 = f(c) = f'(c).

Je serai curieux de savoir comment le démontrer autrement.
Cordialement.

Poirot · February 2020

Ça m'a l'air très bien. Il faut par contre remplacer ton expression entre guillemets par une véritable démonstration des convergences des suites $(c_n)_n$ et $(c_n')_n$ vers un même réel. Tu pourrais montrer qu'en choisissant bien les $c_n$ et les $c_n'$ tu disposes de deux suites adjacentes.

troisqua · February 2020

Une variante dans la rédaction (facile à détailler) :
Par récurrence, il existe une suite d'intervalles $I_{n}$ emboîtés de diamètre $\frac{b-a}{2^{n}}$ tels que sur chaque $I_{n}$, $f'$ et $f$ s'annulent une infinité de fois (même argument que celui que tu donnes). Par complétude, l'intersection des $I_{n}$ est un singleton $\left\{ c\right\} \subset\left[a;b\right]$.

Si on avait $f\left(c\right)$ non nul alors par continuité de $f$, $f$ ne s'annulerait pas sur tout un voisinage de $c$. Mais ce voisinage contient l'un des $I_{n}$ ce qui est absurde donc $f\left(c\right)=0$ (idem pour $f'\left(c\right)$).

Calli · February 2020

Bonjour,
Les guillemets sont à proscrire. Si tu t'en sers, ça veut dire que ce que tu as écrit manque de rigueur et que tu en es conscient, donc il faut le corriger. Et, en plus, ils attirent l'attention du correcteur (ça me fait penser aux gens qui se garent leur voiture là où c'est interdit et qui mettent des warning ; ça ne fait qu'attirer l'attention sur leur infraction ^^).
Les suites $(c_n)$ et $(c_n')$ ne seront pas forcément adjacentes, mais tu peux les encadrer par deux suites adjacentes qui sont les bornes de tes intervalles de dichotomie.

Poirot · February 2020

@troisqua : le théorème des segments emboîtés et les suites adjacentes c'est kif-kif. ;-)

troisqua · February 2020

Entièrement d'accord, c'est juste une autre façon d'exploiter la complétude. Comme les remarques qui étaient faites à 20100N étaient d'ordre rédactionnel, je me suis permis de donner une autre façon de rédiger la même idée.

20100N · February 2020

Bonsoir, merci pour vos réponses, les suites a_n et b_n sont adjacentes de limite commune c par construction dichotomique, de même les suites c_n et c'_n sont par construction dans les [a_n,b_n] donc convergent vers la même limite c par encadrement.

Si jamais quelqu'un connaît un raisonnement différent pour prouver ce résultat, je serais très curieux de savoir.
Cordialement.

Calli · February 2020

D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, l'ensemble des zéros de f possède un point d'accumulation a. Alors $\frac{f(a+h)-f(a)}h =\frac{f(a+h)}h$ s'annule pour des h aussi proches de zéro que l'on veut. Donc la limite de ce ratio quand h tend vers zéro est nulle. C'est-à-dire $f'(a)=0=f(a)$.
En fait ça n'est pas fondamentalement différemment de ce que tu as fait car l'une des preuves de Bolzano-Weierstrass repose sur une dichotomie.

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