Fonction C1 s'annulant une infinité de fois
Bonsoir, j'ai l'exercice suivant.
Soit f une fonction C1 sur un segment [a,b] et s'annulant une infinité de fois (sur ce même segment )
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que f(c)=f'(c)=0.
Pourriez-vous me dire si ma démonstration est correcte.
Par dichotomie, on crée une suite d'intervalles de plus en plus petits sur lesquels f s'annule une infinité de fois, et donc f' aussi d'après le théorème de Rolle. En construisant deux suites (cn) et (c'n) dans mes intervalles tel que f(cn)=0=f'(c'n), puisque la suite d'intervalle ''converge" vers un singleton, (cn) et (c'n) convergent vers une même limite c d’où en utilisant l'hypothèse C1:
lim f(cn) = lim f'(cn) = 0 = f(c) = f'(c).
Je serai curieux de savoir comment le démontrer autrement.
Cordialement.
Soit f une fonction C1 sur un segment [a,b] et s'annulant une infinité de fois (sur ce même segment )
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que f(c)=f'(c)=0.
Pourriez-vous me dire si ma démonstration est correcte.
Par dichotomie, on crée une suite d'intervalles de plus en plus petits sur lesquels f s'annule une infinité de fois, et donc f' aussi d'après le théorème de Rolle. En construisant deux suites (cn) et (c'n) dans mes intervalles tel que f(cn)=0=f'(c'n), puisque la suite d'intervalle ''converge" vers un singleton, (cn) et (c'n) convergent vers une même limite c d’où en utilisant l'hypothèse C1:
lim f(cn) = lim f'(cn) = 0 = f(c) = f'(c).
Je serai curieux de savoir comment le démontrer autrement.
Cordialement.
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Réponses
Par récurrence, il existe une suite d'intervalles $I_{n}$ emboîtés de diamètre $\frac{b-a}{2^{n}}$ tels que sur chaque $I_{n}$, $f'$ et $f$ s'annulent une infinité de fois (même argument que celui que tu donnes). Par complétude, l'intersection des $I_{n}$ est un singleton $\left\{ c\right\} \subset\left[a;b\right]$.
Si on avait $f\left(c\right)$ non nul alors par continuité de $f$, $f$ ne s'annulerait pas sur tout un voisinage de $c$. Mais ce voisinage contient l'un des $I_{n}$ ce qui est absurde donc $f\left(c\right)=0$ (idem pour $f'\left(c\right)$).
Les guillemets sont à proscrire. Si tu t'en sers, ça veut dire que ce que tu as écrit manque de rigueur et que tu en es conscient, donc il faut le corriger. Et, en plus, ils attirent l'attention du correcteur (ça me fait penser aux gens qui se garent leur voiture là où c'est interdit et qui mettent des warning ; ça ne fait qu'attirer l'attention sur leur infraction ^^).
Les suites $(c_n)$ et $(c_n')$ ne seront pas forcément adjacentes, mais tu peux les encadrer par deux suites adjacentes qui sont les bornes de tes intervalles de dichotomie.
Si jamais quelqu'un connaît un raisonnement différent pour prouver ce résultat, je serais très curieux de savoir.
Cordialement.
En fait ça n'est pas fondamentalement différemment de ce que tu as fait car l'une des preuves de Bolzano-Weierstrass repose sur une dichotomie.