Somme de cette série ?
La plupart du temps, j'essaie de faire comme si j'étais trop fort et j'essaie de faire de la topologie algébrique et des limites inductives, mais ça m'arrive d'être réaliste et de retravailler les choses niveau Licence que je ne maîtrise pas parfaitement.
J'ai rencontré une série sur Wikiversité : $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^n - 3}{4^n + 7}$.
Bon, le terme général est équivalent à $\dfrac{1}{2^n}$ quand $n$ tend vers l'infini, donc la série converge, ça c'est simple.
Par contre, je ne saurais pas dire vers quoi elle converge. J'ai demandé à WolframAlpha, pensant qu'il me donnerait une somme à vérifier/à laquelle réfléchir un peu. J'ai déjà affirmé plein de fois, et c'est toujours vrai, que je ne suis pas un grand ami de l'analyse réelle, je sais que je ne suis pas bon et que j'ai des lacunes, mais je ne vois pas quelle méthode pourrait me donner la somme de cette série. J'ai commencé à calculer les premières sommes partielles, mais j'ai très vite eu la flemme.
Peut-on calculer cette somme, et si oui, comment fait-on ? Le fait que même Wolfy ne trouve pas me laisse dubitatif quant à la possibilité de trouver une réponse, mais on ne sait jamais.
Merci !
J'ai rencontré une série sur Wikiversité : $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^n - 3}{4^n + 7}$.
Bon, le terme général est équivalent à $\dfrac{1}{2^n}$ quand $n$ tend vers l'infini, donc la série converge, ça c'est simple.
Par contre, je ne saurais pas dire vers quoi elle converge. J'ai demandé à WolframAlpha, pensant qu'il me donnerait une somme à vérifier/à laquelle réfléchir un peu. J'ai déjà affirmé plein de fois, et c'est toujours vrai, que je ne suis pas un grand ami de l'analyse réelle, je sais que je ne suis pas bon et que j'ai des lacunes, mais je ne vois pas quelle méthode pourrait me donner la somme de cette série. J'ai commencé à calculer les premières sommes partielles, mais j'ai très vite eu la flemme.
Peut-on calculer cette somme, et si oui, comment fait-on ? Le fait que même Wolfy ne trouve pas me laisse dubitatif quant à la possibilité de trouver une réponse, mais on ne sait jamais.
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Réponses
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1/(7+4^n),n=0,infinity
J'aurais pu prendre une série plus simple. Je vais poser la question comme ça : quelles sont les méthodes qu'on a pour calculer la somme d'une série ?
- si on a une formule utilisable pour la suite des sommes partielles, on peut essayer de calculer la limite
- si on peut encadrer par deux séries qui ont la même limite, c'est bon
- on peut comparer la série à une intégrale, et trouver la nature de la série, mais si elle converge je ne sais pas s'il y a des cas où on peut trouver la somme de la série en calculant l'intégrale (il faudrait des conditions précises sur l'intégrande, j'imagine)
...
Voilà en gros. Les cours sur les séries parlent surtout de la nature, probablement parce que le calcul de la somme est souvent très/trop difficile, mais je voulais savoir où sont les limites de ce problème.
On a bien $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^n - 3}{4^n + 7}=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^n}{4^n + 7}-3\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{4^n + 7}$ le lien vers Wolfy dans mon message plus haut est pour la deuxième intégrale.
Sinon, maple n'y arrive pas (ne trouve pas de formule close). Cela dit, numériquement, c'est facile de calculer une valeur approchée précise (la série converge très vite. On trouve $-0.119206306070831396724846...$ Malheureusement, l'Inverse Symbolic Calculator ne trouve pas à quoi cela correspond.