Par exemple, l’inégalité implique que $\displaystyle h(x)=g(x)^{1/(2x-2)}-f(x) >0$ mais la limite en $1$ par valeurs supérieures de la fonction $h$ qui est continue sur $]1,+\infty[$ est $-\pi/4$.
En effet, $g(2)=\ln 2<1$ de sorte que $\displaystyle g(x)^{1/(2 x-1)}\to 0,(x\to 1^+).$
Réponses
De tête c’est faux.
Par exemple, l’inégalité implique que $\displaystyle h(x)=g(x)^{1/(2x-2)}-f(x) >0$ mais la limite en $1$ par valeurs supérieures de la fonction $h$ qui est continue sur $]1,+\infty[$ est $-\pi/4$.
En effet, $g(2)=\ln 2<1$ de sorte que $\displaystyle g(x)^{1/(2 x-1)}\to 0,(x\to 1^+).$
Non ?
l'inégalité de droite semble vraie
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(+ln((1+x^2)/(x^2-2x+2))+)^(1/(2x-2))+-arctan(x)+++arctan(x-1)++from+x=1+to+20
Ne serait-ce pas une multiplication et non pas une puissance avec une petite correction de l'énoncé.
Cordialement.