Développement série entière de $\cos^2x$ en 0
Salut à tous,
Je cherche à développer en série entière autour de $0$ la fonction $f(x)=\cos^2(x)$.
Pour $x$ dans $]{-}1,1[$ on a $$
\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} b_{2n} x^{2n}.
$$ La fonction $f$ est donc le produit de Cauchy de deux séries de rayon $1$ et l’on a $R \geq 1$. La fonction $f$ est paire. On a donc $\ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} x^{2n}$.
Le coefficient $a_{2n}$ est la somme des produits $b_{2p} b_{2q}$ tels que $(2p) + (2q) = 2n$, c’est-à-dire $q = n - p$. On a donc $$
a_{2n} = \sum_{p=0}^{n} b_{2p} b_{2(n-p)} = \sum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} \frac{(-1)^{n-p}}{(2(n-p))!} = (-1)^n \sum_{p=0}^{n} \frac{1}{(2p)! \, (2(n-p))!}.
$$ Comment je peux continuer ?
Merci d'avance.
Je cherche à développer en série entière autour de $0$ la fonction $f(x)=\cos^2(x)$.
Pour $x$ dans $]{-}1,1[$ on a $$
\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} b_{2n} x^{2n}.
$$ La fonction $f$ est donc le produit de Cauchy de deux séries de rayon $1$ et l’on a $R \geq 1$. La fonction $f$ est paire. On a donc $\ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} x^{2n}$.
Le coefficient $a_{2n}$ est la somme des produits $b_{2p} b_{2q}$ tels que $(2p) + (2q) = 2n$, c’est-à-dire $q = n - p$. On a donc $$
a_{2n} = \sum_{p=0}^{n} b_{2p} b_{2(n-p)} = \sum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} \frac{(-1)^{n-p}}{(2(n-p))!} = (-1)^n \sum_{p=0}^{n} \frac{1}{(2p)! \, (2(n-p))!}.
$$ Comment je peux continuer ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
a_{2n} = (-1)^n \sum_{p=0}^{n} \frac{1}{(2p)! \, (2(n-p))!}=\frac{(-1)^n}{(2n)!} \sum_{p=0}^{n} \frac{(2n)!}{(2p)! \, (2(n-p))!} = \frac{(-1)^n}{(2n)!} \sum_{p=0}^{n} C_{(2n)}^{(2p)} =\ ?
$$ On sait que : $\sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} =2^n.$
Pourquoi ne pas avoir utilisé la formule trigo toute simple $\cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\ $ ?
Tu peux t'en servir pour voir quel est le résultat final attendu et le retrouver par ta méthode peut-être.
Cordialement.
$$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} b_{2n} x^{2n}.$$
En utilisant la formule trigonométrique $\quad \cos^2(x)=\frac12(1+\cos(2x))$, on obtient
$$\cos^2(x) = \frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} =\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n-1}}{(2n)!} x^{2n} .$$
Merci à tous pour vos interventions