Dérivée d'une composée

Ici tu peux a priori voir $F$ comme $(X,Y,Z) \mapsto F(X,Y,Z)$ et faire intervenir les dérivées partielles suivant $X$, $Y$ et $Z$.

il devrait y avoir une somme de deux termes puisque $x$ apparaît en $Y$ et $Z$.

Ton $F'$ ne veut rien dire, mais tu as visiblement décidé d'ignorer mon premier message.

un exemple peut-être: $ F = x + \sqrt{ \exp(3x) + \exp(tx) } $. Dans ce cas, $F(X,Y,Z) = X + \sqrt{X + Y }$ et pour dériver suivant $x$, on aura:

$F'_x(x,t) = 1 + \dfrac{3\exp(3x) }{2\sqrt{\exp(3x) + \exp(tx) } } + \dfrac{t\exp(tx) }{2\sqrt{\exp(3x) + \exp(tx) } }$

Bonjour à vous,

Histoire de préciser les objets, ce que tu cherches c'est les différentielles partielles de $\widetilde{F}$ définie par $$
\widetilde{F}:\begin{cases}\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^n & \longrightarrow & H \\(t,x) & \longmapsto & \widetilde{F}(t,x)=F(t,h(x),g(t,x)) \end{cases}$$ où $H$ est l'espace d'arrivée de $F$. Et dans ce cas on a les différentielles partielles de $\widetilde{F}$ $$\frac{\partial\widetilde{F}}{\partial t}(t,x) \in\mathcal{L}(\mathbb{R}_{+},H), \qquad \qquad \frac{\partial\widetilde{F}}{\partial x}(t,x) \in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,H)$$

Tu as plusieurs manière équivalentes de définir cet objet suivant le contexte dans lequel tu es. En voilà quelques unes :$$\frac{\partial\overset{\sim}{F}}{\partial x}(t,x) = D_{(t,x)}(x \mapsto \overset{\sim}{F}(t,x)) \qquad (\textrm{égalité dans }\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,H)) \\
\forall h \in \mathbb{R}^n,\quad\frac{\partial\overset{\sim}{F}}{\partial x}(t,x)(h) = D_{(t,x)}\overset{\sim}{F}(0,h) \qquad (\textrm{égalité dans }H) \\
\forall h \in \mathbb{R}^n,\quad\frac{\partial\overset{\sim}{F}}{\partial x}(t,x)(h) = \underset{a\rightarrow 0}{lim}\frac{\overset{\sim}{F}(t,x+ah)-\overset{\sim}{F}(t,x)}{a} \qquad (\textrm{égalité dans }H)$$

Au vu de ce que tu donnes, on peut utiliser la seconde manière et commencer par calculer la différentielle de $\overset{\sim}{F}$. Pour ce faire on peut essayer de décomposer $\overset{\sim}{F}$ ainsi : $$ \overset{\sim}{F} :(t,x) \overset{l}{\mapsto} (t,h(x),g(t,x)) \overset{F}{\mapsto} F(t,h(x),g(t,x))$$ et ainsi écrire $$D_{(t,x)}\overset{\sim}{F} = D_{l(t,x)}F \circ D_{(t,x)}l = D_{(t,h(x),g(t,x))}F \circ \begin{pmatrix} D_{(t,x)}((t,x)\mapsto t) \\ D_{(t,x)}((t,x)\mapsto h(x)) \\ D_{(t,x)}g \end{pmatrix} = D_{(t,h(x),g(t,x))}F \circ \begin{pmatrix} [1 \quad 0] \\ [0 \quad \frac{dh}{dx}(x)] \\ [\frac{\partial g}{\partial t}(t,x) \quad \frac{\partial g}{\partial x}(t,x)] \end{pmatrix} $$ où j'identifie notations matricielles et applications.
En utilisant que $$D_{(t,h(x),g(t,x))}F(h_1,h_2,h_3) = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial F}{\partial x_i}(t,h(x),g(t,x))(h_i) $$ puis en appliquant le résultat précédent en $(0,h)$ avec $h\in\mathbb{R}^n$ on a : $$\begin{align}\frac{\partial\overset{\sim}{F}}{\partial x}(t,x)(h) &= D_{(t,x)}\overset{\sim}{F}(0,h) \\ &= D_{(t,h(x),g(t,x))}F \circ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{dh}{dx}(x)(h) \\ \frac{\partial g}{\partial x}(t,x)(h) \end{pmatrix} \\ &= \frac{\partial F}{\partial x_1}(t,h(x),g(t,x))(0) + \frac{\partial F}{\partial x_2}(t,h(x),g(t,x))\circ\frac{dh}{dx}(x)(h) + \frac{\partial F}{\partial x_3}(t,h(x),g(t,x))\circ\frac{\partial g}{\partial x}(t,x)(h) \\ &= \frac{\partial F}{\partial x_2}(t,h(x),g(t,x))\circ\frac{dh}{dx}(x)(h) + \frac{\partial F}{\partial x_3}(t,h(x),g(t,x))\circ\frac{\partial g}{\partial x}(t,x)(h)\end{align}$$

[Modulos erreurs.. ou imprécisions 8-) : je ne suis pas expert et j'écris sous le contrôle des membres plus avertis].

Bon bien sûr les règles de calculs sur les dérivées permettent d'avoir le résultat immédiatement mais c'est disons une justification..