Séries de fonctions

Gon · February 2020

Bonsoir, il m'est souvent difficile de répondre à des questions portant sur les séries de fonctions.
Comme dans les images du post.

Pourquoi a-t-on considéré la limite lorsque $x$ tend vers $0$ par valeur supérieure pour montrer que la suite de fonctions $(R_n(x))$ ne converge pas uniformément vers $0$ après avoir réalisé l'encadrement.

Aussi pour la continuité de la somme d'une séries de fonctions, à quel moment lorsqu'il n'y a pas convergence normale (voir même uniforme), on montre la convergence sur des segments ou des intervalles de la forme $[a,+\infty[$ ?
Dans la correction, l'auteur décide de se mettre sur $[a,b]$ pourquoi ?
Merci d'avance pour votre aide. 97010

Gon · February 2020

Concernant le cas de l'intervalle $[a,+\infty[$ voici les images 97016

Jules21 · February 2020

Bonsoir.
Pour la deuxième question, on cherche se place souvent sur des segments car, pour certains résultats, comme des interversions de somme et d'intégrales d'une suite de fonctions, la convergence uniforme sur tout compact (les segments dans $\mathbb{R}$) de ta série suite de fonctions suffit pour appliquer ces théorèmes.

Pour la première question, si je ne dis pas de bêtises, on utilise la contraposée de l'affirmation suivante : "Si $(f_n)_{n \in N} $ est une suite de fonctions continues en un point $a \in I$ qui converge uniformément vers $f$ sur un $I$ alors, $f$ est continue en $a$.
En espérant t'avoir aidé

Gon · February 2020

Concernant la première question , pas que je ne sais pas qu’on réalise sur des intervalles, je parle juste du choix de ceux-ci.

Gon · February 2020

Personne :-S

Jules21 · February 2020

Je n'ai pas vraiment compris ton problème pour la question 1 ?

Gon · February 2020

Pour problème est : comment savoir sur quel sous-intervalle doit-on réaliser l'étude pour qu'il y ait convergence uniforme (qui va conserver la continuité de la fonction somme) sans pour autant avoir convergence uniforme sur l'intervalle de départ.

Je veux juste savoir comment on s'écarte des points qui posent problème à notre étude.

Gon · February 2020

Parce que dans les deux exercices de l'image , l'intervalle est différent, l'auteur décide de travailler sur $[a,b]$ et dans l'autre cas sur $[a,+\infty[$

je veux juste connaître les motifs de ses raisonnements

Jules21 · February 2020

Je vois ton problème. Le choix de l’intervalle dépend de chaque exercice. Tu vois que si tu avais pris un intervalle $[a,\infty]$ pour le premier, tu n’aurais pas pu majorer ton $x$ au numérateur. Or pour la convergence uniforme ou normale, il faut majorer la borne $\sup$ de $f_n$. Donc majorer par quelque chose qui ne dépend plus de $x$. D’où l’intérêt de se placer sur un compact.

Pour le deuxième pas de soucis, $f_n$ est décroissante donc le problème n’est qu’en $0$. Tu aurais pu te placer sur $[a,b]$ mais ton $b$ ne serait pas apparu.
J’espère t’avoir aidé et bon courage pour les révisions.

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