Intégrale double et changement de variable

Jules21 · February 2020

Bonsoir
Je suis en train d'essayer de résoudre le calcul suivant en vain. A l'aide du difféomorphisme de $\mathbb{R}_{+}^2 $ qui à $(x,y)$ associe $(x+y,y)$ sur son image, calculer l'intégral sur $ \mathbb{R}_{+}^2$ de $\exp(-(x+y)^2)$.

J'ai montré que l'image du difféomorphisme était l'ensemble des couples $(x,y) \in \mathbb{R}_{+}^2 $ tels que $x\geqslant y \geqslant 0$, mais je ne vois pas comment utiliser la formule du changement de variable.

Merci d'avance et bonne soirée

Poirot · February 2020

Où bloques-tu dans l'application de la formule ?

Fin de partie · February 2020

Au hasard, je parie que son problème est de trouver le nouveau domaine de $\mathbb{R}^2$ sur lequel on intègre après le changement de variable. :-D

Jules21 · February 2020

Si je note $\phi$ le difféomorphisme en question, et $f$ ma fonction, le déterminant de la jacobienne de $\phi$ valant 1 en tout point, j'ai en appliquant la formule : $$
\int_0^{\infty} \int _0^{\infty}f(x,y)=\int _{E} f\big(\phi^{-1}(x,y)\big),
$$ où $ E = \{ (x,y)\mid x>y>0 \}$ et pour tout $(x,y)\in E ,\ \phi^{-1}(x,y) = (x-y,y)$.
Je me retrouve donc à calculer l'intégrale sur $E$ de $\exp(-x^2)$ ...

Jules21 · February 2020

J'ai trouvé la solution, ma dernière ligne se réécrit :
$\int_0^{\infty} \int _0^{\infty}f(x,y)dxdy=\int _{\{(x,y), x>y>0 \}} f\big(\phi^{-1}(x,y)\big)dxdy = \int_{\{(x,y) | \\ x>0 \ y>0 \}} f(x-y,y) \mathbb{1_{[0,x]}}(y)dxdy$

Ces fonctions étant à valeurs positives on a par Tonelli que la valeur de l'intégrale recherchée est :
$\int_0^{\infty} \exp(-x^2) \big( \int _0^{\infty}\mathbb{1_{[0,x]}}(y)dy \big ) dx$ = $\int_0^{\infty} x\exp(-x^2)$ = $\frac{1}{2}$.

Intégrale double et changement de variable

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