Transformée inverse de Laplace

Si $0<a,b$ alors $$\frac{1+bp}{1+ap}=\frac{b}{a}+\left(1-\frac{b}{a}\right)\frac{1}{1+ap}=\int_0^{\infty}e^{-px}\mu_{a,b}(dx),\ \mu_{a,b}(dx)=\frac{b}{a}\delta_0(dx)+\left(1-\frac{b}{a}\right)e^{-x/a}!_{(0,\infty)}(x)dx/a.

$$$\mu_{a,b}$ est une probabilite si $b<a.$ Ensuite $$\frac{v\sinh u\sqrt{p}}{u\sinh v\sqrt{p}}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1+\frac{u^2 p}{\pi^2n^2}}{1+\frac{v^2 p}{\pi^2n^2}}=\int_0^{\infty}e^{-px}\nu_{u,v}(dx)$$ où $\nu_{u,v}(dx)$ est la convolution (infinie) de toutes les mesures $\mu_{a/n^2,b/n^2}$ avec $a=v^2/\pi^2$ et $b=u^2/\pi^2$. De meme, $\nu_{u,v}$ est une probabilite si $0<u<v.$ Il me semble dans une existence antérieure avoir vu $\nu_{u,v}(dx)$ explicite, dans des questions de représentations de groupe. Peut-être en cherchant dans les livres de Vilenkin.

Pour terminer, tu as a utiliser $\frac{1}{p}=\int_0^{\infty}e^{-px}dx$ et $\frac{1}{p^2}=\int_0^{\infty}e^{-px}xdx$ et la mesure que tu cherches est le résultat de convolutions de ces deux trucs simples avec deux monstres de la forme $\nu_{u,v}(dx).$

Et bien, Seth, j'ai calcule la densite de $\nu_{u,v}.$ Est ce qu'on laisse tomber?