Connexité par arcs

Énoncé.
$A=]0,1]\times\{0\} \bigcup_{n\geq 1} (\{1/n\}\times[0,1])$ et $A'=\{(0,1)\}$. On pose $B=A \cup A'$
d) On souhaite montrer que $B$ n'est pas connexe par arcs.
Soit $\gamma: [0,1] \to B$ une application continue telle que $\gamma(0)=(0,1)$ et $\gamma(1)=(1,0)$.
On note, pour tout $t\in[0,1],\ \gamma(t)=\big(\gamma_x (t), \gamma_y (t)\big)$.
(i) Montrer que $t_* := \sup \gamma^{-1} (A') \in [0, 1[$.
(ii) Monter qu'il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $t \in\, ]t_*, t_{*}+\delta[,\ \lambda_x(t)>0$ et $\lambda_y(t)>0$.
(iii) En déduire que $\lambda_x(t) \in \{1/n \mid n \in \N^*\}$ pour $t \in\, ]t_*, t_{*+\delta}[$, puis aboutir à une contradiction et conclure.Bonjour

J'ai résolu la question i)
Pour ii) je pense qu'il faut utiliser la continuité de gamma y mais je n'arrive pas à conclure que gamma y est strictement positif ?

Pour iii) comme gamma x et gamma y sont strictement positifs c'est qu'ils appartiennent à l'ensemble 1/n x [0,1]
Mais après je pense qu'il faut montrer qu'il y a une contradiction sur la continuité de gamma x mais je ne parviens pas à la montrer ?
Qui peut m'aider ?
Merci.

[Merci à marsup pour le passage en $\LaTeX$. :-) AD]
[LaTeX corrigé selon les indications de Aléa. AD]