Développement en série entière autour de $0$

Zakariyae · February 2020

Salut à tous,
Des idées pour les deux fonctions : $$
f(x)=\log\Big|\frac{1+x}{1-x}\Big| \quad \text{et} \quad g(x)=\frac{1}{1+x+x^2}.
$$ Merci d'avance.

Chaurien · February 2020

Pour $f(x)$, c'est pour $|x|<1$, alors $f(x)=\ln(1+x)- \ln(1-x)$.
Pour $g(x)$, éléments simples sur $\mathbb C$.

Zakariyae · February 2020

Pour $f$, on a $$g(x)=\frac{1-x^3}{1-x}=\frac{1}{1-x} - \frac{x^3}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n - \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+3}= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
$$ Mais je n'arrive pas à déterminer l'expression finale des $a_n$.

Chaurien · February 2020

Plutôt $\displaystyle g(x)=\frac{1-x}{1-x^3}=\frac{1}{1-x^3} - \frac{x}{1-x^3} = \sum_{n=0}^{+\infty}x^{3n} - \sum_{n=0}^{+\infty} x^{3n+1}=...$

Zakariyae · February 2020

@Chaurien, pour $f$ on va juste traiter le cas où $|x|<1$ c'est ça ?

Chaurien · February 2020

Tu fais un développement autour de $0$, c'est donc pour $|x|<R$ avec le plus grand $R$ possible.

Chaurien · February 2020

Et s'il te plaît corrige cet affreux «... je n'est pas arrivé à déterminer ...»
https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/etre.php

Zakariyae · February 2020

oui oui vous avez raison, on a
$$\displaystyle g(x)=\frac{1-x}{1-x^3}=\frac{1}{1-x^3} - \frac{x}{1-x^3} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{3n} - \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n+1},$$
je pense que presque tous les termes de $g$ vont s'annuler (g=constante ?)

Chaurien · February 2020

Non, réfléchis, regarde les premiers termes. Comment peux-tu affirmer que $\quad g(x)=\frac{1}{1+x+x^2}$ est constante ?

Zakariyae · February 2020

Ok je pense que : $$
g(x)= \sum_{n=0}^{\infty}x^{3n} - \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n+1} =\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
$$ avec $a_n = 1$ si $n=3k$, $a_n = -1$ si $n=3k+1$ et $a_n = 0$ sinon. ??

Développement en série entière autour de $0$

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