EDO au sens de Stieltjes : preuve d'unicité

johncoltrane1
johncoltrane1
dans Analyse
Bonjour, à tous.
Je suis en train d'étudier ce cours : http://math.univ-lyon1.fr/~guillotin/livre.pdf. Je bloque sur un argument dans une preuve.
Je vous présente le sujet ici.

On considère l'équation différentielle $Y_i = Y_0 + \int_{0}^t Y_{s-} dA_t$. On veut prouver qu'il existe une unique solution.

L'argument suivant me pose problème dans la preuve d'unicité. Sois $Z$ la différence de deux solutions de l'équation. On a de manière assez simple : $|Z_i| \leq \sup_{s \in [0, t]} |Z_s| V(A)_t$ avec $V(A)_t$ la variable totale de $A$ sur $[0, t]$.

La partie que je ne comprends consiste à prouver par IPP successives que : $$

|Z_{t}| \leq \sup_{s \in [0,t]} |Z_{s}| \frac{V(A)_{t}^{2}}{2} \leq \cdots \leq \sup_{s \in [0,t]} |Z_{s}| \frac{V(A)_{t}^{n}}{n!},

$$ pour tout $n$ et que donc $Z = 0$.
Avez-vous des idées ou une autre preuve ?
Merci d'avance,
Cordialement,
Sébastien Petit

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il me semble que tu peux t'en sortir en itérant la définition de $Z$ : $$Z_t = \int_0^t Z_s \,\mathrm{d}A_s = \int_0^t \int_0^s Z_u \,\mathrm{d}A_u \,\mathrm{d}A_s = \dots.$$
  • johncoltrane1
    johncoltrane1
    Bonjour Poirot
    Merci pour ta réponse.
    Effectivement en procédant comme tu le décris je parviens à majorer par exemple par $$
    \Big| \int_0^t \int_0^{s-} Z_{u-} dA_u dA_s\Big| \leq V(A)_t \sup_{s \in [0, t]} \Big| \int_0^{s-} Z_{u-} dA_u \Big| \leq M_t V(A)_t^2,
    $$ par exemple. Néanmoins je n'arrive pas à faire apparaître le facteur $\frac{1}{2}$. Je me demande s'il ne faut pas écrire quelque chose du type : $$

    \Big| \int_0^t \int_0^{s-} Z_{u-} dA_u dA_s\Big| \leq M_t \Big| \int_0^t \int_0^{s-} dA_u dA_s\Big

    |.$$ Avec du coup l'intégrale sur la moitié du carré qui ferait $\dfrac{(A_t - A_0)^2}{2} \leq \dfrac{V(A)_t^2}{2} $. Le souci c'est que je n'arrive pas à bien le formaliser.

    Je ne l'ai pas précisé, mais le cours que je consulte recommande de passer par la majoration intermédiaire $$\int_0^t M_s V(A)_s dV(A)_s.

    $$ Merci encore et excusez-moi, je suis un peu novice sur ce sujet.
  • johncoltrane1
    johncoltrane1
    En fait, est-ce que quelque chose comme ceci ne serait pas correct :
    \begin{align*}
    |Z_t| &= |Z_t - Z_0| \leq V(Z)_t = \int_0^t |Z_{s-}| dV(A)_s \\
    &\leq \int_0^t M_s V(A)_s dV(A)_s\\
    & \leq M_t \int_0^t V(A)_s dV(A)_s = M_t (\frac{V(A)_t^2 - \sum_{s \leq t} \Delta A_s^2}{2}) \\
    &\leq \frac{M_t V(A)_t^2}{2} .
    \end{align*}
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