La bijection
Bonsoir, je suis bloqué sur mon exercice pourriez-vous m'aider.
l’énoncer: Soit f : R -> R
x -> ex / ex+1
montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle J à déterminer. Exprimer la réciproque.
f est strictement croissante , l’intervalle de f est ]-infini;+infini[
Donc f est injective
Pourrez-vous m’aider svp, merci d’avance !
l’énoncer: Soit f : R -> R
x -> ex / ex+1
montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle J à déterminer. Exprimer la réciproque.
f est strictement croissante , l’intervalle de f est ]-infini;+infini[
Donc f est injective
Pourrez-vous m’aider svp, merci d’avance !
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Réponses
Ta fonction est constante: $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x}+1=2$
Cordialement,
Rescassol
$f:x\mapsto \frac{e^x}{e^x+1}$ étant croissante, pour trouver $J$ il faut calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. Ensuite, exprimer sa réciproque revient à résoudre $y=\frac{e^x}{e^x+1}$ en l'inconnue $x$ pour $y\in J$.
PS : Des fois, je me demande si les messages tels que celui de @Rescassol ne sont pas de la mauvaise foi. Les espaces dans "ex / ex+1" donnent très envie de penser qu'on parle de $\frac{e^x}{e^x+1}$, même si on trouve crédible l'exercice "étudier $\frac{e^x}{e^x}+1$". En tout cas, il ne m'est pas venu à l'idée que ça puisse être $\frac{e^x}{e^x}+1$ avant de voir le message de Rescassol. Certes, il faut que les questionneurs soient précis dans leurs demandes, mais il ne faut pas abuser non plus...
C'est $f:x\mapsto \frac{e^{x}}{e^{x}+1}$.
On peut terminer d'appliquer le théorème de la bijection en trouvant les limites en $\pm\infty$.
Ensuite, pour trouver la réciproque, il s'agit de résoudre $y=f(x) \Longleftrightarrow x = ??$
> Tu fais exprès de ne pas comprendre, Rescassol ?
Oui !!
Comme d'habitude, un élève débarque, ne lit pas la charte, et demande qu'on fasse son exo, sans être capable d'écrire correctement l'énoncé.
Cordialement,
Rescassol
[size=x-small]Édit : Quand j'ai écrit mon message, le post de Rescassol ci-dessus contenait
Il l'a modifié depuis (à peu près au moment où j'ai publié le présent post, mais je ne l'avais pas vu).[/size]
Oui, tu as raison, mais quand c'est la n-ième fois (avec n grand) que ça arrive, je me lasse.
Il faudrait un mécanisme automatique qui empêche les nouveaux venus de poster tant qu'ils ne sont pas passés par la charte.
Cordialement,
Rescassol
Suite aux conseils que vous m’avez donnés et je vous en remercie, j’ai trouvé ceci.
1) justification de la limite en +oo insuffisante.
2) la bijection n'est pas de $\mathbb R$ sur $[0,1]$ mais de $\mathbb R$ sur ...
3) pour l'application réciproque, le texte est incompréhensible
"Or $X=e^x$" ?? "or" sert à rappeler une chose déjà connue. Il n'y a pas de $X$ jusque-là.
Pourquoi $\Delta= b²-4ac$ serait-il équivalent à $y^2+4>0$ ??
et ainsi de suite. Avec de grosses erreurs de calcul.
Rappel : une démonstration est faite pour ceux qui vont lire.
Là, tu as écrit un brouillon confus pour toi, que tu auras même du mal à relire dans un mois.
Ça ressemble plus à une tentative d'imiter des calculs sur un autre cas que à des calculs faits (en particulier le $e^{2x}$ qui apparaît sans raison). Alors que ce ne sont que des calculs très élémentaires.
Plus gênant, tu as un calcul sur $y$ qui n'amène pas au calcul de $f^{-1}$, et à la fin apparaît une autre fonction $f^{-1}$ qui n'est pas la réciproque de $f$.
Donc il serait temps de faire sérieusement ton travail en faisant et rédigeant clairement (pour les autres et même pour toi) les calculs.
Cordialement.