Composées successives d'un polynôme
Chers amis analystes,
Un problème arithmétique m'a amené à me poser la question suivante. Notons $f(x)=ax^2+bx+c$. Existe-t-il une formule donnant $f^{\circ k}$ pour $k\in\N^*$?
J'ai remarqué que le cas d'un polynôme de degré $1$ est assez simple. En effet si $g(x)=ax+b$ alors $g^{\circ k} (x)=a^kx+\sum_{i=0}^{k-1}a^kb$.
En vous remerciant,
Al-Kashi
Un problème arithmétique m'a amené à me poser la question suivante. Notons $f(x)=ax^2+bx+c$. Existe-t-il une formule donnant $f^{\circ k}$ pour $k\in\N^*$?
J'ai remarqué que le cas d'un polynôme de degré $1$ est assez simple. En effet si $g(x)=ax+b$ alors $g^{\circ k} (x)=a^kx+\sum_{i=0}^{k-1}a^kb$.
En vous remerciant,
Al-Kashi
Réponses
-
Ta notation est ambigüe, tu parles bien de la composée $k$-ième et pas de la puissance $k$-ième ?
-
Bonjour,
On peut écrire $f^{\circ n}$ pour la composée $n$-ième de $f$. -
Merci Calli. j'ai modifié les notations.
Al-Kashi -
Je pense qu'il est à peu près impossible qu'une telle formule existe (au sens d'une formule utile et non tautologique), parce que la seule suite des coefficients constants correspond aux itérées de 0.
Or les suites d'itérées de trinômes du second degré peuvent être chaotiques, comme pour la suite logistique $u_{n+1} = ru_n(1-u_n)$ : https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map -
Bonjour,
Entendu. Merci pour vos réponses.
Al-Kashi -
Bonjour,
J'ai finalement réussi à trouver le cas particulier que je cherchais et que je vous propose en exercice.
On considère la fonction $f(x)=ax^2+2x$. Démontrer que $f^{\circ n}(x)=\dfrac{(ax+1)^{2^n}-1}{a}$.
Al-Kashi -
Plus généralement, si $f(x)=ax^2+2bx+c$ avec $a\neq0$ et $c=\dfrac{b^2-b}{a}$ alors $f^{\circ n}(x)=\dfrac{(ax+b)^{2^n}-b}{a}$.
On peut encore généraliser avec $p\in\N^*$ et $a\neq0$ : si $f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^p{p\choose k}a^{k-1}b^{p-k}x^k+\dfrac{b^p-b}{a}$ alors $f^{\circ n}(x)=\dfrac{(ax+b)^{p^n}-b}{a}$.
Une remarque : ce n'est pas de l'analyse mais de l'algèbre.
[Discussion déplacée en algèbre. AD] -
Bonjour Jandri,
Merci pour le complément.
Al-Kashi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 5
+4 Invités