Composées successives d'un polynôme
Chers amis analystes,
Un problème arithmétique m'a amené à me poser la question suivante. Notons $f(x)=ax^2+bx+c$. Existe-t-il une formule donnant $f^{\circ k}$ pour $k\in\N^*$?
J'ai remarqué que le cas d'un polynôme de degré $1$ est assez simple. En effet si $g(x)=ax+b$ alors $g^{\circ k} (x)=a^kx+\sum_{i=0}^{k-1}a^kb$.
En vous remerciant,
Al-Kashi
Un problème arithmétique m'a amené à me poser la question suivante. Notons $f(x)=ax^2+bx+c$. Existe-t-il une formule donnant $f^{\circ k}$ pour $k\in\N^*$?
J'ai remarqué que le cas d'un polynôme de degré $1$ est assez simple. En effet si $g(x)=ax+b$ alors $g^{\circ k} (x)=a^kx+\sum_{i=0}^{k-1}a^kb$.
En vous remerciant,
Al-Kashi
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Réponses
J'ai utilisé la notation que j'ai trouvée sur le net ici. Si ce n'est pas la bonne je veux bien utiliser les notations classiques mais je n'en connais pas d'autres.
Al-Kashi
On peut écrire $f^{\circ n}$ pour la composée $n$-ième de $f$.
Al-Kashi
Or les suites d'itérées de trinômes du second degré peuvent être chaotiques, comme pour la suite logistique $u_{n+1} = ru_n(1-u_n)$ : https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
Entendu. Merci pour vos réponses.
Al-Kashi
J'ai finalement réussi à trouver le cas particulier que je cherchais et que je vous propose en exercice.
On considère la fonction $f(x)=ax^2+2x$. Démontrer que $f^{\circ n}(x)=\dfrac{(ax+1)^{2^n}-1}{a}$.
Al-Kashi
On peut encore généraliser avec $p\in\N^*$ et $a\neq0$ : si $f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^p{p\choose k}a^{k-1}b^{p-k}x^k+\dfrac{b^p-b}{a}$ alors $f^{\circ n}(x)=\dfrac{(ax+b)^{p^n}-b}{a}$.
Une remarque : ce n'est pas de l'analyse mais de l'algèbre.
[Discussion déplacée en algèbre. AD]
Merci pour le complément.
Al-Kashi