L’erreur
Bonjour, on m’a demandé de déterminer le rayon de convergence d’une série entière( ce n’est pas une série lacunaire) dont la suite associée est $n^{(-1)^n}$.
J’ai dit :
$-1 \leq n^{(-1)^n} \leq 1$( je suis trompé ici) , puis par croissance de la fonction puissance on a $\frac{1}{n} \leq n^{(-1)^n} \leq n$.
Mais je ne suis pas trop certain de la justification qui me fait passer d’une égalité à l’autre .
Dans la correction l’auteur a distingué suivant la parité de n.
Donc qu’est-ce qui rend faux mon raisonnement?
Merci d’avance.
J’ai dit :
$-1 \leq n^{(-1)^n} \leq 1$( je suis trompé ici) , puis par croissance de la fonction puissance on a $\frac{1}{n} \leq n^{(-1)^n} \leq n$.
Mais je ne suis pas trop certain de la justification qui me fait passer d’une égalité à l’autre .
Dans la correction l’auteur a distingué suivant la parité de n.
Donc qu’est-ce qui rend faux mon raisonnement?
Merci d’avance.
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Réponses
$-1 \leq n^{(-1)^n} \leq 1$ c'est faux si $n>1$ est pair.
Ma question est la suivante:
est-ce que parce que $-1 \leq (-1)^{n} \leq 1$ , j'ai le droit de dire qu'on a $\frac{1}{n} \leq n^{(-1)^n} \leq n$ pour $n$ non nul
Ici, j'utilise le fait que $\forall x > 0,\forall \alpha \in \R,\, x^\alpha = \exp(\alpha \ln(x))$.
Donc, $\alpha \mapsto x^\alpha$ est croissante si $\ln(x) \geq 0$, donc si $x \geq 1$ et décroissante sinon.
Dans ton cas, ça marche puisque $n\in \N^\ast$, donc $n\geq 1$.
Ce qui était maladroit c'est ton inégalité fausse $$-1 \leq n^{(-1)^n} \leq 1.$$
En tout cas, il me semble immédiat de montrer que le rayon de convergence de cette série est inférieur ou égal à $1$.
Et effectivement, on peut même calculer la fonction somme. Si on connaît un peu d'analyse complexe, on peut en déduire une autre démonstration du fait que le rayon de convergence est $1$.