Système d'équations différentielles
Bonjour
comment écrire le système suivant sous forme matricielle ? Il me semble qu'il faudrait avant toute chose l'écrire comme système de trois équations d'ordre 1 mais je peine à trouver comment. $$
\begin{cases}
y_1'' - 3 y_1' +2 y_1 +y_2' - y_2 =0\\
y_1' -2y_1 +y_2' +y_2=0
\end{cases}
$$ Cordialement.
comment écrire le système suivant sous forme matricielle ? Il me semble qu'il faudrait avant toute chose l'écrire comme système de trois équations d'ordre 1 mais je peine à trouver comment. $$
\begin{cases}
y_1'' - 3 y_1' +2 y_1 +y_2' - y_2 =0\\
y_1' -2y_1 +y_2' +y_2=0
\end{cases}
$$ Cordialement.
Réponses
-
Tu peux commencer par poser $y_3=y_1'$ et remplacer dans la première équation pour obtenir un système différentiel linéaire d'ordre 1 à 3 équations.
Ensuite, tu le réécris matriciellement. -
Bonsoir Bissam
merci pour l'idée.
On trouve le système à trois équations suivant $$
\begin{cases}
y_1' =y_3\\
y_2'= 2 y_1 -y_2 -y_3\\
y_3'=-y_2 +2y_3.
\end{cases}
$$ Peux-tu me confirmer si c'est correct ?
Cordialement. -
Bonjour,
$y_3’$ est faux. -
C'est bien ce qui me semblait, mais comme je fais moi aussi parfois des erreurs, j'ai préféré recommencer mes calculs.
-
$y_3'=2y_3$.
C'est correct? -
Bonjour,
@ccapucine :
Bon, je te dis comment je fais. En espérant que tu progresses.
D'abord, j'écris le système tel que :
$\displaystyle y_1" - 3 y_1'+2y_1+y_2'-y_2 = 0$
$\displaystyle y_1'-2y_1 + y_2'+y_2 = 0.$
Je relis pour vérifier.
Je pose $\displaystyle y_1'=y_3$ pour éliminer la dérivée seconde : on a alors un système de trois équations à trois inconnues : $\displaystyle y_1, y_2, y_3.$
Je commence par éliminer la dérivée seconde (par substitution).
$\displaystyle y_3' - 3 y_1'+2y_1+y_2'-y_2 = 0$
$\displaystyle y_1'-2y_1 + y_2'+y_2 = 0.$
$\displaystyle y_1'=y_3$
Puis j'écris dans l'ordre : $\displaystyle y_1', y_2',y_3'$ selon les inconnues pour obtenir le système différentiel sous forme matricielle.
$\displaystyle y_1'=y_3$ : on a donc terminé avec cette équation.
$\displaystyle y_1'-2y_1 + y_2'+y_2 = 0$ : on tire $\displaystyle y_2'$ selon $\displaystyle y_1' = y_3$ et on poursuit : $\displaystyle y_2' =-y_1'+2y_1-y_2 = -y_3+2y_1-y_2 $ que l'on réécrit pour avoir des indices par ordre croissant (c'est esthétique et par référence à 'l'ordre juste' cher à Ségolène Royal) : $\displaystyle y_2' = 2y_1-y_2-y_3 $ : on a donc terminé avec cette équation.
$\displaystyle y_3' - 3 y_1'+2y_1+y_2'-y_2 = 0$ : on tire $\displaystyle y_3'$ selon $\displaystyle y_1'=y_3$ et $\displaystyle y_2'=2y_1-y_2-y_3$ et on poursuit : $\displaystyle y_3'= + 3 y_1'-2y_1-y_2'+y_2 =+3 y_3 - 2y_1-(2y_1-y_2-y_3)+y_2=4y_3-4y_1+2y_2$ que l'on réécrit pour avoir des indices par ordre croissant : $\displaystyle y_3'=-4y_1+2y_2+4y_3$ : on a donc terminé avec cette équation.
On a donc calculé :
$\displaystyle y_1'=y_3$
$\displaystyle y_2' = 2y_1-y_2-y_3 $
$\displaystyle y_3'=-4y_1+2y_2+4y_3$
Je vérifie visuellement les coeffcients et les signes depuis le début : ça paraît pas mal. -
Oui, je trouve ça aussi, mais je croyais qu'il ne fallait pas le dire ;-).
La matrice du système est donc : $\left[
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
2 & -1 & -1 \\
-4 & 2 & 4%
\end{array}%
\right] $, elle a trois valeurs propres distinctes, très simples.
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Bonjour!
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