Équation différentielle à coeff variables ?

Si $y=\lambda y_0$ avec $y_0=e^{\frac{x^2}{2}}$ tu trouves $ \lambda ' y_0=x^3$ d'où $\lambda '=…$
Et il reste à faire un calcul de primitive.

Je pense qu'on vous propose de chercher une primitive sous la forme $(ax^2+bx+c)\exp(-x^2/2)$

J'avais oublié un signe - dans l'exponentielle ,je corrige .
Bien sûr, les 2 exponentielles se simplifient ensuite et on retrouve bien le polynôme cherché !

Bonjour,

En mode arrête de déconner :
1. Tu résous $y’-xy =0$ tu trouves $y_1(x)$.
2. Tu trouves une solution particulière de $y’-xy=x^3$ sous la forme $ax^2+b x+c$ tu trouves $y_2(x)$.
3. Tu conclus que toutes les solutions sont de la forme $A y_1(x)+y_2(x)$ avec $A$ une constante réelle.

Changement de variables $t=\frac{x^2}{2}$ puis intégration par parties

Et si x est négatif ?

Ouf ! Mais il était plus simple, puisqu'on te donnait une indication, de chercher directement une solution particulière de la forme $ax^2+bx+c$ solution que tu as retrouvée par la méthode de variation de la constante

Bonjour,

@lidlkidjoe : non, tu n'as toujours pas compris ton erreur. Tu n'appliques pas correctement la méthode de variation de la constante. Et tu n'a pas lu mon indication : faire une somme de deux fonctions, ce n'est pas les multiplier !

$\displaystyle y'-xy = x^3$

Sans variation de la constante :
Homogène : $\displaystyle y'-xy=0$ donc $\displaystyle y_1(x) = \lambda e^{x^2/2}$ avec $\lambda $ une constante quelconque.

Solution particulière de la forme : $\displaystyle y_2(x) = ax^2+bx+c$ donc $y_2'(x) = 2a x+b$ et donc $\displaystyle y_2'-x y'_2(x) = (2a x+b) - x(ax^2+bx+c)=-ax^3-bx^2+(2a-c) x + b = x^3$ et donc $\displaystyle -a=1, b=0, 2a-c=0, b=0$ et donc $\displaystyle a=-1, b=0, c = -2$ : finalement, $\displaystyle y_2(x) = -x^2-2.$

Toutes les solutions sont alors de la forme $\displaystyle y(x) = y_1(x) + y_2(x) = \lambda e^{x^2/2} -x^2-2$ avec $\lambda $ une constante réelle quelconque.

Avec variation de la constante :
Homogène : $\displaystyle y'-xy=0$ donc $\displaystyle y_1(x) = \lambda e^{x^2/2}$ avec $\lambda $ une constante quelconque.
On fait varier $\displaystyle \lambda(x)$ : on reporte $\displaystyle y_1'(x) -y_1(x) =\lambda'(x) e^{x^2/2}+\lambda(x) x e^{x^2/2} - x \lambda(x) e^{x^2/2} = \lambda'(x) e^{x^2/2}=x^3$ on a donc une équation de premier ordre en $\displaystyle \lambda(x)$ : $\displaystyle \lambda'(x) e^{x^2/2} = x^3$ et donc $\lambda'(x) = x^3 e^{-x^2/2}.$
On calcule alors $\displaystyle \lambda(x) = \int_a^x dt t^3 e^{-t^2/2} = -e^{-x^2/2} (x^2+2) + A$ avec $A$ une constante réelle quelconque. Le calcul se fait par intégration par parties...

Finalement, on a $\displaystyle y(x) = \lambda(x) e^{x^2/2} = (-e^{-x^2/2} (x^2+2) + A) e^{x^2/2} = A e^{x^2/2}-x^2-2$ avec $A$ une constante réelle quelconque.

Bonjour,

Ce que tu as écrit est faux.

'C'est peut-être un détail pour vous
Mais pour moi, ça veut dire beaucoup.'

Comment faut-il te dire que $\lambda(x) = (a x^2+b x+c) e^{x^2/2}$ est une grosse connerie ?

Bon, passe un bon weekend.

Bonjour,

Pas de problème, j'écris aussi des trucs faux (et bien plus que toi sur ce forum : erreurs de raisonnement et de calculs). Il ne faut pas être surpris qu'on essaie de corriger les fautes de raisonnement et de calculs sur un forum de maths. Quand on te donne une indication, fais l'effort de la lire et de la comprendre. C'est une bonne démarche.