Domaine (théorème flux-divergence)

Bonjour, ma question est en rapport avec le lien suivant: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DivergenceTheorem.aspx, veuillez l'ouvrir si ma question n'est pas très claire.

J'ai du mal à comprendre comment bien comprendre un domaine d'intégration pour calculer son intégrale pour le flux.
Ce que j'aimerais comprendre, c'est, soit une surface consistant en les 2 surfaces suivantes: $z=4-3x^2-3y^2\ ,1\leq z\leq 4$ et $x^2+y^2=1\ ,0\leq z\leq 1$
Avec le théorème de flux-divergence, il suffit de connaître la région délimitée par ces surfaces et de calculer l'intégrale en son sein. Donc les régions sont respectivement: $3x^2+3y^2+z\leq 4\ ,1\leq z\leq 4$ et $x^2+y^2\leq 1\ ,0\leq z\leq 1$. Maintenant, il se trouve que pour cette figure, les coordonnées cylindriques sont utiles. Et avec ces coordonnées, apparemment, les bonnes bornes d'intégration sont les suivantes: $\begin{cases}
0\leq z\leq 4-3r^2 \\
0\leq r\leq 1 \\
0\leq \theta\leq 2\pi
\end{cases}$
Je n'arrive pas à comprendre comment est-ce que l'on est sûr que ces bornes satisfont exactement les deux régions en même temps. Evidemment en observant la figure dessinée dans le lien on se rend compte que ça marche, mais comment être quand même sûr que c'est le cas ou comment le faire sans dessin? Par exemple la deuxième région implique évidemment que $0\leq r\leq 1$ et pour la première en prenant en compte que le $z$ est compris entre $1$ et $4$ alors on a aussi $0\leq r\leq 1$. Cependant comment est-on sûr que $z$ borné ainsi permet de tout atteindre? Je ne suis pas sûr de m'être clairement exprimé en fait j'ai juste du mal à comprendre comment trouver exactement les bonnes bornes d'intégration.

Merci de votre aide.