Reste d'une série de Taylor

zenon · February 2020

Bonjour à tous
J'ai déterminé la série de Taylor autour de $x=5$ de la fonction $f(x)=\ln x$ dont l'expression est évidemment $$\sum_{n\ge 1}(-1)^{n-1}\frac{(-1)^n}{n 5^n}(x-5)^n.

$$ Je voulais montrer que la fonction $f$ est égale à sa série de Taylor sur l'intervalle $[1, 10]$. Pour cela, j'ai essayé de démontrer que le reste $R_n$ tend vers $0$ sur cet intervalle, c'est-à-dire $\lim_{n\to +\infty} R_{n}(x)=0$ pour tout $x\in [1, 9]$ (intervalle contenu dans le domaine de convergence qui est $]0,10]$). J'ai utilisé l'inégalité de Taylor (qui est conséquence du reste de type Lagrange), à savoir $|R_{n}(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-5|^{n+1}$ où $M=\max_{a\le x \le b} |f^{(n+1)}(x)|=\max_{1\le x \le 10}\frac{n!}{x^{n+1}}$ pour tout $x\in [a, b]$ avec $a\ge 1$ et $b\le 10$. Pour $x\in [5, 10]$, on a $M=\max_{5\le x \le 10} \frac{n!}{x^{n+1}}\le \frac{n!}{5^{n+1}} $. Donc pour $x\in [5,10]$, on a $|R_{n}(x)|\le \frac{n!}{5^{n+1}}\frac{1}{(n+1)!}|x-5|^{n+1}\le \frac{1}{n+1},$ ce qui montre que le reste tend vers $0$. Cependant, pour $x\in [1,5]$, j'ai la majoration suivante : $\displaystyle M=\max_{1\le x \le 5}\frac{n!}{x^{n+1}}\leq n! $, et donc $|R_{n}(x)|\le \frac{4^n}{n+1}$ qui ne tend pas vers $0$.

Ma question est comment montrer que le reste tend vers $0$. Sinon, comment montrer que le reste ne tend pas vers $0$, et donc la fonction $f$ ne serait pas égale à sa série de Taylor pour $x\in [1,5]$.
Merci à l'avance pour vos suggestions.
Zenon

Titi le curieux · February 2020

Salut,
Tu as manqué d'attention (dans l'expression de la série aussi, je crois qu'il y a un $(-1)^{n-1}$ en trop, ça ressemble à de la grosse fatigue), comme tu le dis c'est $\frac{M}{(n+1)!}|x-5|^{n+1}$ qui compte, pas juste $M$, donc pas d'inquiétude, ça tourne quand même.

Edit: Oups! Pardon, c'est moi qui était fatigué, j'ai pas lu attentivement la fin... En effet, l'inégalité avec "reste simple" est insuffisante pour montrer la convergence, il faut probablement utiliser le reste intégrale.

LOU16 · February 2020

Bonjour,

En effet, cette majoration du reste est trop grossière et ne permet pas de prouver la convergence de la série.

Pour y parvenir, on peut, par exemple, utiliser l'argument suivant: Soient $\:\:a,x \in \R$ tels que $ a>0,\:\: -a <x<a.$
$\forall t \in [0,x], \:\:\:\dfrac 1{a+t} =\displaystyle \sum _{n=0} ^{+\infty}\dfrac {(-t)^n}{a^{n+1}},\quad $ la convergence de cette série de fonctions continues étant normale sur $[0,x].\quad$ On déduit:
$\displaystyle \log(a+x) - \log(a) = \int _0^x \dfrac 1{a+t} \mathrm dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int _0 ^x \dfrac{(-t)^n}{a^{n+1}} \mathrm dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac {(-1)^{n+1}x^n}{n\:a^n},\:\:$ ce qui est bien la relation voulue, dès lors que
$\dfrac {\log ^{(n)}(a)} {n!} = \dfrac {(-1)^{n+1}}{n\:a^n}.$

zenon · February 2020

Merci à vous deux Titi le curieux et LOU16. Effectivement, le $(-1)^n$ est en plus dans l'énoncé (la fatigue!). Pour LOU16, je ne vois pas comment passer de $\ln (x+a)$ à $\ln x$ car si je remplace $x$ par $t-a$, j'aurai effectivement $\ln t$ recherché, mais $t$ serai négatif car $t\le x <a$ce qui rend le $\ln$ non défini!

Par ailleurs, j'ai essayé de raisoner de la manière suivante :

Pour tout $x \in ]0, 10[$, on a $\left|\frac{x-5}{5}\right|<1$, ce qui entraîne $\lim_{n\to + \infty} \left|\frac{x-5}{5}\right|^n=0$. Or, on a
\begin{align*}
\left|R_{n}(x)\right|&=\left| \sum_{k\ge n+1}(-1)^{k-1}\frac{(x-5)^{k}}{k 5^k}\right|\le \sum_{k\ge n+1}\frac{\left|x-5\right|^{k}}{k 5^k} \\
& \le \frac{1}{n+1}\sum_{k\ge n+1}\frac{\left|x-5\right|^{k}}{ 5^k}
=\frac{1}{n+1}\sum_{k\ge n+1}\left|\frac{x-5}{5}\right|^{k}
= \frac{1}{n+1}\frac{\left|\frac{x-5}{5}\right|^{n+1}}{1-\left|\frac{x-5}{5}\right|}\to 0\\
\end{align*}
losque $n\to +\infty$.

{\bf Remarque} Pour $x=10$, on a:
\[\lim_{n\to + \infty} \left|R_{n}(10)\right|= \lim_{n\to + \infty}\left| \sum_{k\ge n+1}\frac{(-1)^{k-1}}{k} \right|\leq \lim_{n\to + \infty} \dfrac{1}{n+1}=0.\]
Finallement, pour tout $x\in ]0,10]$, on obtient $\lim_{n\to + \infty} R_{n}(x)=0$.

Ma question est la suivante: est-ce que mon raisonnement est correct.

J'attends vos suggestions.

LOU16 · February 2020

@ Zenon

Il n'est aucunement question de "remplacer $x$ par $t-a$", ce qui n'a pas de sens. J'ai banalement "intégré" sur $ I=[0,x] $ (ou $[x,0]$ suivant le signe de $x$) la série de fonctions $\sum f_n $ (où $f_n: t \mapsto \dfrac {(-t)^n}{a^{n+1}}$), normalement convergente sur $I$, en écrivant que $\int\sum f_n = \sum\int f_n ,$ ce qui aboutit à :

$\forall a>0, \forall x \in ]-a ,a[,\quad \log(a+x) = \log(a) + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac {(-1)^{n+1}x^n}{n\:a^n},\quad$ une chose qui s'écrit aussi:
$ \forall a>0,\:\: \forall x \in ]0,2a[, \quad \log(x) =\log (a) + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac {(-1)^{n+1} (x-a)^n}{n \:a^n}$ et cela est précisément ce tu cherchais à prouver.
En détaillant, cela donne: $ \forall t \in [0,x]\:\:\:\:\left| \dfrac 1{t+a} - \displaystyle \sum _{k=0} ^n \dfrac {(-t)^k}{a^{k+1}} \right|\leqslant \dfrac{|x|^{n+1}}{a^{n+1}(a-|x|)},\quad $ qui entraîne, en intégrant sur $[0,x]:$
$$\left|\log(a+ x) - \log(a) - \displaystyle \sum _{k=1}^{n+1} \dfrac {(-1)^{k+1} x^k}{k \:a^k} \right | \leqslant \dfrac {|x|^{n+2}}{a^{n+1}(a-|x|)}, $$
la limite quand, $n\to + \infty$, du terme de droite dans cette inégalité étant nulle.

zenon · February 2020

Merci beaucoup LOU16. En effet, ma remarque n'a aucun sens. Je pense que je suis très fatigué ces derniers temps. Encore une fois merci à tous.

zenon · March 2020

Finalement, je pense LOU16 que mon raisonnement n'est pas correct car si on considère la fonction plateau $f(x)=e^{-1/x^2}$ pour $x\neq 0$ et $f(0)=0$, alors $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$. Donc $R_n(x)=0$ pour tout $n$, et par suite $R_n(x)$ tend vers $0$ lorsque $n\to +\infty$ uniformément par rapport à $x$. Et pourtant la série de Taylor ne converge que pour $x=0$ vers la fonction $f$.

Je conclus qu'il faut étudier toujours le reste au sens de Lagrange, Cauchy, Euler, etc., et non montrer que le reste de la série de Taylor associée à la fonction tend vers $0$ uniformément. Le problème, si que je me souviens[, est] que j'ai vu ce type de raisonnement (je me souviens vaguement où je l'ai lu) que j'ai présenté dans mon deuxième message !

SVP, si quelqu’un a une explication à tout cela. Merci d'avance.

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