Fonction génératrice de 2 var indépendantes

Twisted_Fate · February 2020

Salut
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbf{N} $ dont on associe respectivement les variables aléatoires $G_{x},\ G_{y}$.
Je n'ai pas compris le passage de la 3éme ligne à la 4éme ligne ...
Je vous prie de m’expliquer en détails le passage, (et surtout les indices des sommes).
Avec mes salutations et bon week-end tous le monde. 97198

marsup · February 2020

C'est magique : si $C,D$ sont indépendantes, alors : $E[C\times D] = E[C] \times E[D]$
Ceci donne $
\begin{aligned}[t]
G_{X+Y}(z) & = E[z^{X+Y}] \\
& = E[z^{X} \times z^{Y}] \\
& = E[z^{X}] \times E[z^{Y}], \\
\end{aligned}
$
et tout le reste est littérature.

Twisted_Fate · February 2020

Merci pour votre réponse.
Vous venez là de m'en donner une preuve ?!

P. · February 2020

...les variables aleatoires $G_x$ et $G_y$...surveillez vos expressions mon ami.

Poirot · March 2020

Pour revenir à la question initiale, c'est juste un changement d'indice $k=l+n$ tout en conservant $l$, c'est-à-dire que l'on remplace simplement $n$ par $k-l$.

Fonction génératrice de 2 var indépendantes

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