Primitive

Bonjour,

@Polka : Tu écris et calcules $\displaystyle \int_{1}^x {ds \over s \ln s}$ pour un $x.$

L'intégrande est continu sur $\displaystyle ]1,x[$ pour $\displaystyle x>1.$ Une primitive $\displaystyle s \mapsto \ln |\ln s|$ de l'intégrande $\displaystyle s \mapsto {1 \over s \ln s}$ n'est pas définie en $0$ : cette intégrale diverge.

Si $\displaystyle x \leq 0$, on a une autre divergence en $0.$

Si $\displaystyle 0<x<1$, il reste la divergence en $1.$

Si $x=1$, l'intégrande n'existe pas.

Bref, cette intégrale n'existe pas.

@cadiou

Il était parfaitement correct de penser à une intégration par partie , mais pour une autre intégrale qui lui ressemble et elle aurait donné le résultat voulu...

pour $a>0$ et $x>0$ posons
$F(x )= \displaystyle \int_{a}^x \dfrac{ \ln(t)}{t} dt $
l'intégrande est une fonction continue sur l'intervalle d'intégration et F est sa primitive qui s'annule pour x=a ( Théorème fondamental et bien connu )

Avec une IPP on obtient

$F(x )=\left [ \ln^2(t) \right ]_{a}^{x}- \displaystyle \int_{a}^x \dfrac{ \ln(t)}{t} dt $

$F(x )=\left [ \ln^2(t) \right ]_{a}^{x}-F(x)$



$F(x )= \dfrac{1}{2} \left [ \ln^2(t) \right ]_{a}^{x}$
les primitives sur $]0; +\infty[$ sont donc définies par:
$G(x )= \dfrac{1}{2} \ln^2(x) + C$

@gerard0

Inutile n'est pas le mot qui convient . Pour l'avoir vu faire des et des dizaines de fois par des élèves , je ne les ai jamais arrêté dans leur démarche.
Par contre je leur ai toujours fait la remarque que tu indiques, en leur demandant de réfléchir à deux fois avant de se lançer dans les calculs.
" On progresse par ses erreurs" ...n'est ce pas ?

Cordialement

Bonjour,
l'intégrale $\displaystyle \int_a^x\frac{dt}{t\ln t}$ n'est définie que si la borne inférieure $a$ est supérieure ou égale au nombre $e$ et la borne supérieure $x > e.$
Et donc $\displaystyle \int_e^x\frac{dt}{t\ln t} = \ln(\ln x).$
Cordialement.

Cela ne marche pas pour $2<x<e$ ?

@acetonik : tu es sûr pour $x=1$ ?

Ah pardon .
L'intégrale ne diverge pas en $x=1$ du coup ?