Limite bornée implique son existence ?
dans Analyse
Bonjour
Pour une fonction f continue sur un intervalle I de type ]a,+oo[. Si l'on arrive à montrer que la limite de f en a est finie par un encadrement par exemple, est-ce qu'on peut dire que cette limite existe ? Si oui, comment peut-on montrer un tel passage ?
Pour une fonction f continue sur un intervalle I de type ]a,+oo[. Si l'on arrive à montrer que la limite de f en a est finie par un encadrement par exemple, est-ce qu'on peut dire que cette limite existe ? Si oui, comment peut-on montrer un tel passage ?
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Réponses
' Si l'on arrive à montrer que la limite de f en a est finie ' , et ' est-ce qu'on peut dire que cette limite existe '.
Si tu n'arrives pas à décrire la problématique tu peux la modéliser par un exemple ça serait plus concret !
« Si la limite est bornée » sous-entendu que l’on a une limite...donc elle existe.
Étudie $f$ sur $]0;+\infty[$ tel que pour tout réel $x$ strictement positif $f(x)=\sin(1/x)$.
C’est bornée au voisinage de $0$ (et même globalement) mais ça n’a pas de limite en $0$.
Tu dis: Si l'on arrive à montrer que la limite de f en a est finie.
La limite existe donc?
Veux-tu préciser ta question.
Cordialement.
Est-ce qu'il existe des exemples de fonctions non périodiques qui sont bornées sur leurs domaines de définition mais n'admettent pas de limites aux extrémités de ces domaines ?
Merci, désolé j'ai modifié le commentaire avant de voir le tien.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
La condition "non périodique" n'a aucune justification, mais si tu y tiens, tu remplaces $\sin(x)$ par $\sin(x^2)$.
Et si tu tiens à une fonction non construite à partir de fonctions périodiques, tu prends une suite non périodique $x$ qui tend vers $+\infty$ et tu définis ta fonction comme affine par morceaux (affine sur chaque intervalle $[x_n,x_{n+1}]$) et continue avec des pentes choisies de façon qu'on passe alternativement de -1 à 1. Donc la courbe est constituée de segments de longueurs irrégulières bout à bout.
Rappel : une fonction ce n'est pas un calcul, c'est simplement la connaissance, pour tout x, d'un unique f(x).
Cordialement.