Série numérique
L'exercice est de calculer $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \bigg(1- \dfrac{1}{n^2}\bigg)$. Je trouve un résultat, je ne trouve pas d'erreur, mais comme WolframAlpha ne trouve pas la même chose que moi, j'hésite un peu.
Alors :
$\displaystyle \sum_{n=2}^{N} \ln \bigg(1- \dfrac{1}{n^2}\bigg) = \sum_{n=2}^{N} \ln \bigg(\dfrac{n^2 - 1}{n^2}\bigg) = \sum_{n=2}^{N} \ln \bigg(\dfrac{(n+1)(n-1)}{n^2} \bigg) = \sum_{n=2}^{N}\ln(n+1) + \sum_{n=2}^{N} \ln(n-1) - 2 \sum_{n=2}^{N}\ln(n)$
$= \displaystyle \sum_{n=3}^{N+1} \ln(n) + \sum_{n=1}^{N-1} \ln(n) - 2 \sum_{n=2}^{N}\ln(n)$
$\displaystyle = \bigg[ \sum_{n=3}^{N-1} \ln(n) + \ln(N) + \ln(N+1) \bigg] + \bigg[ \sum_{n=3}^{N-1} \ln(n) + \ln(1) + \ln(2) \bigg] - 2 \bigg[ \sum_{n=3}^{N-1}\ln(n) + \ln(2) + \ln(N) \bigg]$
$= \displaystyle \ln(N+1) + \ln(N) + \ln(2) - 2 \ln(2) - 2 \ln(N) = \ln(N+1) - \ln(N) - \ln(2) = \ln \bigg(\dfrac{N+1}{N} \bigg) - \ln(2) = \ln \bigg(1+ \dfrac{1}{N} \bigg) - \ln(2) $.
Du coup, je trouve $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \bigg(1- \dfrac{1}{n^2}\bigg) = - \ln(2)$. WolframAlpha me donne une autre formule pour les sommes partielles et me donne une somme approximative de $-0,68816$ au lieu de mon $- \ln(2)$. Où est le problème ?
Alors :
$\displaystyle \sum_{n=2}^{N} \ln \bigg(1- \dfrac{1}{n^2}\bigg) = \sum_{n=2}^{N} \ln \bigg(\dfrac{n^2 - 1}{n^2}\bigg) = \sum_{n=2}^{N} \ln \bigg(\dfrac{(n+1)(n-1)}{n^2} \bigg) = \sum_{n=2}^{N}\ln(n+1) + \sum_{n=2}^{N} \ln(n-1) - 2 \sum_{n=2}^{N}\ln(n)$
$= \displaystyle \sum_{n=3}^{N+1} \ln(n) + \sum_{n=1}^{N-1} \ln(n) - 2 \sum_{n=2}^{N}\ln(n)$
$\displaystyle = \bigg[ \sum_{n=3}^{N-1} \ln(n) + \ln(N) + \ln(N+1) \bigg] + \bigg[ \sum_{n=3}^{N-1} \ln(n) + \ln(1) + \ln(2) \bigg] - 2 \bigg[ \sum_{n=3}^{N-1}\ln(n) + \ln(2) + \ln(N) \bigg]$
$= \displaystyle \ln(N+1) + \ln(N) + \ln(2) - 2 \ln(2) - 2 \ln(N) = \ln(N+1) - \ln(N) - \ln(2) = \ln \bigg(\dfrac{N+1}{N} \bigg) - \ln(2) = \ln \bigg(1+ \dfrac{1}{N} \bigg) - \ln(2) $.
Du coup, je trouve $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \bigg(1- \dfrac{1}{n^2}\bigg) = - \ln(2)$. WolframAlpha me donne une autre formule pour les sommes partielles et me donne une somme approximative de $-0,68816$ au lieu de mon $- \ln(2)$. Où est le problème ?
Réponses
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Bonjour,
Pour moi, ça fait bien $-\ln 2$. On peut s'en sortir plus vite avec une somme télescopique sur la suite $\ln\left(\frac{n+1}n\right)$. -
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+log(1-1/(n^2))+from+n=2+to+inf
Quand tu demandes "more digits", Wofram change d'avis et te donne raison.
Edit : ...un peu, les deux premières décimales concordent. Wolfram semble donner beaucoup plus de décimales que ce dont il est sûr (puisqu'il les premières changent quand on en rajoute), donc il ne faut pas trop se fier à lui sur ce coup là. -
La formule de WolframAlpha pour la somme partielle est en fait correcte et se simplifie en celle que donne Homo Topi.
A mon avis, l'erreur de calcul vient justement de la formule non simplifiée, à cause des grandes valeurs prises par la fonction Gamma. -
sage: def S(N): ....: return add(ln(1.-1/k^2) for k in range(2,N+1)) ....: sage: S(100000) -0.693137180609806 sage: S(2000000) -0.693146680559946 sage: ln(2.) 0.693147180559945
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OK, merci !
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Bonjour,
on peut partir du produit infini eulérien : $$
\frac{\sin(\pi.x)}{\pi.x} = (1 - x^2)(1 - \frac{x^2}{2^2})\cdots(1 - \frac{x^2}{n^2})\ldots
$$ Tu t'intéresses à la limite de $\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x(1 - x^2)}$ lorsque $x\to 1.$
Avec un changement de variable $x = 1 + u$, lorsque $u \to 0$, tu trouves la limite égale à $1/2$,
et ta série de logarithmes tend vers $\ln(1/2) = - \ln2.$
Cordialement. -
C'est un peu une usine à gaz pour un calcul qu'on est censé savoir faire en deuxième année, non ?
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Question suivante (le vaccin avance).
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \dfrac{x^n + (-1)^n}{n}$.
1) Pour quelles valeurs de $x$ la série de terme général $u_n$ est-elle convergente ?
2) Montrer que la série de terme général $u_n$ n'est jamais absolument convergente.
1) $\displaystyle \sum_{n=1}^N u_n = \sum_{n=1}^N \dfrac{x^n}{n} + \sum_{n=1}^N \dfrac{(-1)^n}{n}$. $\displaystyle \sum_{n=1}^N \dfrac{x^n}{n}$ ne converge quand $N \longrightarrow \infty$ que quand $-1 \leqslant x < 1$, et la somme est $- \ln(1-x)$. L'autre somme converge vers $- \ln(2)$.
2) $\displaystyle \sum_{n=1}^N |u_n| = \sum_{n=1}^N \dfrac{|x^n + (-1)^n|}{n}$.
Bon, déjà, la convergence absolue ne peut pas avoir lieu pour $x$ en dehors de $[-1;1[$ parce qu'on n'a même pas convergence simple.
Quand $x=0$, on tombe sur la série harmonique, qui est divergente.
Pour les autres valeurs de $x$, je ne sais pas trop. Il doit y avoir un argument simple, puisque c'est un exercice au tout début d'un livre de L2. Mais je m'embrouille avec ce truc à chaque fois que j'essaie d'y réfléchir, ça commence à m'exaspérer.
Je préfère des indices à une solution toute faite, au passage. Merci ! -
Si $x$ est négatif, la valeur absolue se calcule immédiatement. Sinon, tu peux calculer la valeur absolue en question en distinguant $n$ pair et $n$ impair.
-
Comment ça, se calcule immédiatement ? Je ne vois rien d'immédiat...
Si $x \in [-1;0[$ et $n$ est pair, alors $x^n \in ]0;1]$ et $(-1)^n=1$, donc $|x^n + (-1)^n| = |x^n +1| = x^n+1$ car $x^n+1 \in ]1;2]$.
Si $x \in [-1;0[$ et $n$ est impair, alors $x^n \in ]0;1]$ et $(-1)^n=-1$, donc $|x^n + (-1)^n| = |x^n - 1| = 1- x^n$ car $x^n-1 \in ]-1;0]$.
Et après, je fais quoi d'immédiat ? Je dois passer à côté d'un truc. En tout cas je ne vois pas en quoi ce que j'ai écrit donne des sommes partielles faciles à décrire.. -
Si $x$ est négatif alors $x^n = (-1)^n|x|^n$ et donc $|x^n + (-1)^n| = 1 + |x|^n$.
-
Ah, oui, d'accord, on retombe sur un truc avec une série harmonique, donc ça diverge. *
Pour $x > 0$ je vais réfléchir un peu. Je ne vois pas encore l'astuce... -
Salut,
On peut utiliser le fait que la somme de deux séries absolument convergentes est aussi absolument convergente. -
On doit trouver qu'elle n'est jamais absolument convergente, ma série.
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Bonjour,
Ne peut_on pas exploiter le fait que si $n$ est pair alors $x^n+(-1)^n\geq 1$ et la série harmonique vue que les termes sont positifs.(sans distinguer les cas)
Cordialement. -
Mais j'ai bien compris Homo Topi ;-). Suppose par l'absurde qu'elle converge absolument et vois ce qui se passe.
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Je ne comprends pas : même en supposant qu'elle converge absolument quand $x \in ]0;1[$, qu'est-ce que je suis censé écrire après ? Je peux séparer la valeur absolue en deux avec l'inégalité triangulaire mais ça va dans le mauvais sens, et je ne vois pas comment minorer ma série par la série harmonique non plus...
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Bonjour,
Avec ta notation. $$
\sum_{n=1}^{2N+1} |u_n|\ge \sum_{n=1}^N \dfrac{x^{2n} + (-1)^{2n}}{2n}\ge \sum_{n=1}^N \dfrac{1}{2n} .
$$ Tu n'as même pas besoin de distinguer de cas. -
Soit $x\in\,]-1,1[$. On a $\sum \frac{(-1)^n}n = \sum u_n -\sum \frac{x^n}n$ donc si $ \sum u_n $ converge absolument, alors $\sum \frac{(-1)^n}n$ convergence absolument (car somme de deux séries absolument convergentes). C'est absurde.
-
Bonjour ,
Que penses-tu de mon inégalité? -
Calli : je ne trouve pas ce que tu as écrit très rigoureusement présenté, alors je réfléchis encore si c'est "proprement" faisable (dans le sens, est-ce qu'un jury de CAPES/Agreg laisserait ça passer ou non).
nahar : j'y réfléchis. -
L'ensemble des suites sommables est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^{\mathbb N}$ ; c'est $\ell^1(\mathbb N)$. Si $(u_n)$ et $(\frac{x^n}n)_n$ sont dans ce sev, alors $(\frac{(-1)^n}n)_n = (u_n) - (\frac{x^n}n)_n$ l'est aussi. C'est plus convaincant dit comme ça ?
-
Bonjour Calli. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1949128,1950390#msg-1950390
À tout le monde alors. -
Non. Ce que je n'aime pas, c'est des opérations sur des sommes sans indices. Alors :
Soit $x \in ]-1;1[$. Soit $N \geqslant 1$. On a : $\dfrac{(-1)^n}{n} = u_n - \dfrac{x^n}{n}$.
On sait que $\displaystyle \sum \dfrac{x^n}{n}$ est absolument convergente, de somme $- \ln(1- |x|)$. Comme $\dfrac{|(-1)^n|}{n} = \bigg| u_n - \dfrac{x^n}{n} \bigg| \leqslant |u_n| + \dfrac{|x|^n}{n}$, si la série de terme général $u_n$ était absolument convergente, la série de terme général $\dfrac{|(-1)^n|}{n} = \dfrac{1}{n}$ serait une série à termes positifs majorée par une série convergente (somme de deux séries absolument convergentes donc convergentes), donc serait convergente, ce qui est absurde.
Voilà là c'est bon pour moi. -
Homo Topi a écrit:c'est des opérations sur des sommes sans indices
Non.
Dans mon dernier message, je n'ai même pas écrit le symbole somme, j'ai juste parlé d'espaces vectoriels.
Et dans le message d'avant, le $\sum \frac{(-1)^n}n = \sum u_n -\sum \frac{x^n}n$ n'était pas des sommes non indicées (donc mal définies), mais des manipulations formelles des objets formels que sont les séries. On peut définir l'objet série $\sum u_n$ comme la suite $\left(\sum_{k=0}^n u_k\right)_{n\in\mathbb N}$, le couple $\left(\left(\sum_{k=0}^n u_k\right)_{n\in\mathbb N}, (u_n)_{n\in\mathbb N}\right)$ ou simplement $ (u_n)_{n\in\mathbb N}$ (ces constructions sont équivalentes), peu importe la convergence ou la divergence de la somme $\sum_{n=0}^\infty u_n$. Par exemple, on peut parler de $\sum n!$. Ça ressemble un peu à la construction des polynômes formels. L'ensemble des séries est un ev ; j'ai donc le droit de les soustraire. L'ensemble des séries absolument convergentes en est un sev.
PS : Enfin, tu as le droit de ne pas aimer, si tu veux... -
C'est plutôt $$\dfrac{|(-1)^n|}{n} = \left| u_n -\dfrac{ x^n}{n}\right| \leqslant |u_n| + \dfrac{|x|^n}{n}$$
-
Oui j'ai mal écrit, je rectifie. Et au final, en y ayant réfléchi un peu plus, ton argument "espace vectoriel" me va aussi.
-
J'aime bien l'argument de nahar, je crois que j'ai compris l'idée, mais je ne vois pas encore comment démontrer le point clé.
La somme partielle $\displaystyle \sum_{n=1}^N \dfrac{|x^{n}+ (-1)^{n}|}{n}$ pose plusieurs problèmes : le signe de $x^n$ dépend de la valeur de $x$ pour les $n$ impairs, idem pour $(-1)^n$. Alors regardons déjà la somme partielle des termes pairs (on commence par celle-là parce que c'est plus simples : tout est positif).
$\displaystyle \sum_{n=1}^N \dfrac{|x^{2n}+ (-1)^{2n}|}{2n} = \sum_{n=1}^N \dfrac{x^{2n}+ 1}{2n} \geqslant \sum_{n=1}^N \dfrac{1}{2n}$ car $x^{2n} \geqslant 0$. Donc on a un morceau divergent ici, c'est déjà pas mal.
Maintenant, si $\displaystyle \sum_{n=1}^N \dfrac{|x^{2n}+ (-1)^{2n}|}{2n}$ minore les sommes partielles de la série de terme général $|u_n|$, on a terminé.
Et là je dois réfléchir à pourquoi c'est vrai. -
Bonjour,
$\displaystyle \sum_{n=1}^N \dfrac{|x^{n}+ (-1)^{n}|}{n} = \sum_{n=1}^{N_1} \dfrac{|x^{2n}+ (-1)^{2n}|}{2n} +\sum_{n=1}^{N_2} \dfrac{|x^{2n+1}+ (-1)^{2n+1}|}{2n+1} \geqslant \sum_{n=1}^{N_1}\dfrac{x^{2n}+ 1}{2n} \geqslant \sum_{n=1}^{N_1} \dfrac{1}{2n}$.Tous les termes étant positifs.
où $N_1=E\left(\dfrac{N}{2}\right)$ Et $N_2=E\left(\dfrac{N}{2}\right)$ si n est impair et $E\left(\dfrac{N}{2}\right)-1$ si n est impair. -
D'accord, merci.
-
Je suis censé comparer la série de terme général $\sqrt{\dfrac{\ln(n)}{n}}$ à une série de Riemann pour en déduire la nature. Je ne vois pas trop comment faire.
Bon, on peut écrire $\sqrt{\dfrac{\ln(n)}{n}} = \dfrac{\sqrt{\ln(n)}}{n^{1/2}}$, mais qu'est-ce que je suis censé faire avec le numérateur ? -
Bah $\frac{\sqrt{\ln n}}{n^{1/2}} \geq \frac{1}{n^{1/2}}$ pour tout $n \geq 3$...
-
Merci.
-
Question suivante : soit $x \in \mathbb{R}$, la série de terme général $\dfrac{1+x^n}{n^2}$ est-elle absolument convergente ? La question n'est pas corrigée dans mon livre. Je bloque un peu.
J'ai commencé par écrire $\displaystyle \sum_{n=1}^N \dfrac{|1+x^n|}{n^2} \leqslant \sum_{n=1}^N \dfrac{1}{n^2} + \sum_{n=1}^N \dfrac{|x|^n}{n^2}$. La première, c'est une série de Riemann convergente, mais la deuxième, avec le $|x|^n$ au numérateur, je ne sais pas trop. Si $|x| \leqslant 1$, on a $|x|^n \leqslant 1$, donc $\dfrac{|x|^n}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n^2}$ et par comparaison à la série de Riemann, la deuxième somme va converger. Mais si $|x| > 1$, je ne peux pas utiliser le même argument pour dire que la deuxième somme converge. Mais ça ne veut pas dire qu'elle diverge, et je ne sais pas trop comment continuer. -
Quelle est la limite de $\dfrac{|x|^n}{n^2}$ quand $|x|>1$ ?
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Tu veux me dire que si $|x|>1$, le terme général ne tend pas vers $0$, mais je dois admettre que je ne trouve pas évident que $\dfrac{|x|^n}{n^2}$ ne tend pas vers $0$ dans ce cas-là. Il faut utiliser des croissances comparées exponentielle/polynôme, c'est ça ?
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Oui, c'est ça.
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Par curiosité, as-tu déjà entendu parler de série entière ? Je suppose que oui, ça me paraît difficile d'y échapper quand on étudie les maths jusqu'au master. Mes Mais ces souvenirs sont peut-être loin.
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Oui, bien sûr. Séries entières, séries de Fourier, j'ai vu tout ça. Je n'en ai pas compris grand-chose, mais je vais arrêter de me plaindre ouvertement de mes cours d'analyse de la fac, on va dire que je me répète où que je suis de mauvaise foi.
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Croissances comparées ou critère de d'Alembert ici si tu préfères.
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Le critère de d'Alembert vient dans le chapitre d'après, donc autant faire sans pour se plier aux conditions de l'exercice. Mais oui avec des croissances comparées ça marche.
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