Suite de fonctions et équivalent

OShine · March 2020

Bonsoir,

Soit $p \geq 2$ et $r>0$. Pour $n \in \N$ et $x>0$ on pose $u_n(x)=\dfrac{n^r}{r!} x^n$.

1/ Etudier le signe de la fonction $\varphi_x : t \in [1,+\infty[ \mapsto t^{1-r} (t-1)^r -x$. En déduire que $\varphi_x$ s'annule en un unique élément de $[1,+\infty[$ que l'on note $t_x$.
2/ Montrer que la suite finie $(u_n(x))_{0 \leq n \leq E(t_x)}$ est croissante et que la suite $(u_n(x))_{n \geq E(t_x)}$ est décroissante.

Avant de commencer les calculs, je me pose la question sur le domaine de définition et de dérivabilité de $\varphi_x$.

$\varphi_x(t)=e^{(1-r) \ln (t)} e^{ r \ln (t-1)}-x$ donc le domaine de définition est $]1,+\infty[$ non ?

Pour la dérivabilité j'ai lu que c'était $[1,+\infty[$ si $r \geq 1$ et $]1,+\infty[$ sinon mais j'avoue ne pas comprendre.

bisam · March 2020

Pour $r>0$, on peut définir $0^r$ par $0$. Ainsi, la fonction $\varphi_x$ est également définie en $1$.
Pour ce qui est de la dérivabilité, tu peux appliquer les méthodes usuelles pour vérifier qu'ainsi prolongée en $1$, elle est dérivable en ce point si et seulement si $r\geq 1$.

OShine · March 2020

Merci.

J'ai résolu les 2 questions mais je n'ai pas compris comment faire pour la dérivabilité :-?

OShine · March 2020

Pareil pour le domaine de définition, il faut définir la fonction prolongée en $1$ ?

Pourquoi on n'écrit pas $\varphi_x(t)= \ldots$ pour $x>1$ et $\varphi_x(1)=0$ ?

OShine · March 2020

Je suis toujours bloqué.

Poirot · March 2020

Qu'est-ce qui te gêne, tu n'as jamais vu les domaines de dérivabilité des fonctions puissances ?

OShine · March 2020

Merci vous avez raison, je connais mal mon cours ou j'ai déjà oublié ce que j'ai étudié il y a quelques mois. Je vais faire des fiches.

La fonction $t \mapsto (t-1)^r$ est dérivable en $1$ si et seulement si $t \mapsto (t)^r$ est dérivable en $0$ si et seulement si $r \geq 1$. C'est juste du cours.

L'ensemble $\{u_n(x) \ n \in \N \}$ admet donc un maximum égal à $u_{E(t_x)} (x)$ que l'on notera $M_x$.

Je mets la question suivante.
3/ Pour $\alpha \in \R$, déterminer la limite de $\varphi_x (x+\alpha)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. En déduire que $t_x -x-r$ tend vers zéro lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. On pourra s'aider de la définition d'une limite.

Soit $\alpha \in \R$. On a pour $x>0$ : $\varphi_x(x+\alpha)=(x+\alpha)^{1-r} (x+\alpha-1)^r -x $

D'où $\varphi_x(x+\alpha)= x ( (1+\dfrac{\alpha}{x})^{1-r} (1+\dfrac{\alpha-1}{x})^r -1)$

Après un DL à l'ordre 1 je trouve $\varphi_x(x+\alpha) = x( \dfrac{\alpha-r}{x} + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(1-r)}{x^2} + o(\dfrac{1}{x}))$

Puis $\varphi_x(x+\alpha)= \alpha-r + o(1)$ car $\dfrac{\alpha (\alpha-1)(1-r)}{x} =o(1)$

On en déduit $\boxed {\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \varphi_x(x+\alpha) = \alpha-r}$

J'avoue ne pas voir le lien direct avec la question précédente.
Soit $\varepsilon >0$. Il faut montrer qu'il existe $A \in \R$ tel que $x \geq A \implies |t_x-x-r| \leq \varepsilon$

La rapport du jury dit : 97940

Poirot · March 2020

Arrête de te laisser influencer par les commentaires du jury qui ne font que te décourager à traiter les questions !

Tu sais $\varphi_x(x+ \alpha) = \alpha - r + o(1)$ quand $x$ tend vers l'infini. En prenant $\alpha = r$ tu as en particulier que $\varphi_x(x+r) = o(1)$ quand $x \to +\infty$. Toi ce que tu cherches, c'est où $\varphi_x$ s'annule. Tu devrais pouvoir en déduire que $x+r$ n'est pas trop éloigné de $t_x$... À toi de rendre ça rigoureux, au travail !

OShine · March 2020

Soit $\varepsilon >0$. On chercher un réel $A$ tel que $x \geq A \implies - \varepsilon \leq t_x - (x+r) \leq \varepsilon$

Or $\varphi_x (x+r)=o(1)$

Mais j'avoue sécher pour introduire le $t_x$ dans le raisonnement.

Poirot · March 2020

$\varphi_x(t_x)=?$

$\varphi_x(x+r) - \varphi_x(t_x) = (x+r-t_x) \times ?$

OShine · March 2020

$\varphi_x(t_x)=0$
$\varphi_x(x+r) - \varphi_x(t_x) = \varphi_x(x+r)$
Je ne comprends pas votre égalité avec le $x+r-t_x$

OShine · March 2020

Poirot je n'ai pas compris votre technique mais vous m'avez mis sur la vois en prenant une valeur particulière pour $\alpha$.

Soit $\varepsilon >0$.
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \varphi_x(x+r+\varepsilon) = \varepsilon>0$
Il existe donc un réel $A_1$ tel que $x \geq A_1 \implies \varphi_x(x+r+\varepsilon) >0$
Ainsi, pour $x \geq A_1$ on a $x+r+\varepsilon \geq t_x$

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \varphi_x(x+r-\varepsilon) = -\varepsilon<0$
Il existe donc un réel $A_2$ tel que $x \geq A_2 \implies \varphi_x(x+r+\varepsilon) <0$
Ainsi, pour $x \geq A_2$ on a $x+r+\varepsilon \leq t_x$

Par conséquent, pour $A= \max (A_1,A_2)$ on a $x \geq A \implies |t_x - x- r | \leq \varepsilon$

D'où le résultat.