Calcul de la limite d'une suite d'intégrales

Aguelord
Aguelord
dans Analyse
Bonjour à tous
Je dois calculer la limite quand $n\to +\infty$ de la suité définie par $\forall n\in\mathbb{N}$, $$ I_n=\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^{2n}}\mathrm{d}x.

$$ Une intégration par partie me donne $$I_n=\frac{\sqrt{2}}{2}-\int_0^1\arctan(x^n)dx.

$$ J'aimerais appliquer le théorème de convergence dominée à cette intégrale (passer la limite sous l'intégrale), mais il y a un problème quand "$x=1$" sous l'intégrale, la suite de fonctions $x\mapsto \arctan(x^n)$ converge vers $0$ pour $x\in[0,1[$ et converge vers $\sqrt{2}/2$ pour $x=1$.

Une indication ? Merci.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour $u\geq 0$, a-t-on $\arctan u \leq u $ ?
  • Gon
    Gon
    Pour $x \in [0,1[$, la suite de fonctions tend vers la fonction nulle
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    J'ai des doutes sur cette IPP.
  • Gon
    Gon
    Tu peux considérer la suite de fonctions comme étant la quantité qui est à l'intérieur de ton intégrale
  • Aguelord
    Aguelord
    J'ai trouvé, en fait une limite simple me suffisait.
  • bisam
    bisam
    Il y a une erreur de calcul dans l'IPP, probablement venue de la valeur de l'arctangente en $x=1$.

    Autre méthode : changement de variable $u=x^n$ dans l'intégrale de départ puis convergence dominée.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Sauf erreur,

    \begin{align}I_n&=\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^{2n}}\mathrm{d}x\\
    &\overset{y=x^n}=\int_0^1 \frac{y^{\frac{1}{n}}}{1+y^2}\mathrm{d}y\\
    &=\Big[y^{\frac{1}{n}}\arctan y\Big]_0^1-\frac{1}{n}\int_0^1 y^{\frac{1}{n}-1}\arctan y\mathrm{d}y\\
    &=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n}\int_0^1 y^{\frac{1}{n}-1}\arctan y\mathrm{d}y\\
    \end{align}
  • totem
    totem
    @FdP : à quoi servent les 2 dernières lignes ?
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