Inégalité.
Bonjour à tous
Je sors d'un partiel je n'ai pas réussi à montrer deux truc élémentaires ça m'énerve $$
\sum_{n=1}^{T} e^{-(n x)} \le \frac{1}{x}, \quad x>0
$$ et $$
p\log\Big(\frac{p}{q}\Big) + (1-p)\log\Big(\frac{1-p}{1-q}\Big) \ge \frac{(p-q)^{2}}{2q}, \quad q\in [p;1].
$$ Pour la deux je pense que mon erreur a été de dériver deux fois en $q$. Même si l'énoncé traité d'une fonction de $q$ j'aurais pu (dû ?) le voir comme fonction de $p \in [0;q]$.
Je sors d'un partiel je n'ai pas réussi à montrer deux truc élémentaires ça m'énerve $$
\sum_{n=1}^{T} e^{-(n x)} \le \frac{1}{x}, \quad x>0
$$ et $$
p\log\Big(\frac{p}{q}\Big) + (1-p)\log\Big(\frac{1-p}{1-q}\Big) \ge \frac{(p-q)^{2}}{2q}, \quad q\in [p;1].
$$ Pour la deux je pense que mon erreur a été de dériver deux fois en $q$. Même si l'énoncé traité d'une fonction de $q$ j'aurais pu (dû ?) le voir comme fonction de $p \in [0;q]$.
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Réponses
Tu peux calculer $\sum_{k=1}^T e^{-kx}$.
\frac{1-e^{-(T+1)x}}{1-e^{-x}} - 1.
$$ Il y a une typo $k =n$.
Pour la première question, préciser : $T$ entier positif et $x$ réel. Corriger $k$ et $n$.
Preuve en faisant $T:=+\infty$, si l'on peut dire.
Ou bien $$\sum_{n=1}^{T} e^{-n x}\ \leqslant\ \int_0^T e^{-tx}\,{\rm d}t\ =\ -\frac{e^{-Tx}}x +\frac{e^{-0x}}x\ \leqslant\ \frac1x$$