Sur une inégalité

Plutôt $ \ge 1$.

Si $0 \leqslant n < a$, c'est évident :
$$\sum_{k=n}^\infty \frac{a^k}{k!} \leqslant \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} = e^a \leqslant \frac{a^n}{n!} \times e^a.$$
Si $0 < a \leqslant n$, on a
$$\sum_{k=n}^\infty \frac{a^k}{k!} = \sum_{k=n}^\infty \frac{n^k}{k!} \left( \frac{a}{n} \right)^k \leqslant \left( \frac{a}{n} \right)^n \sum_{k=n}^\infty \frac{n^k}{k!} \leqslant \left( \frac{ea}{n} \right)^n.$$
Si $e^a \geqslant 2 \sqrt{2 \pi n}$, alors par Stirling
$$\frac{e^a}{n!} \geqslant \frac{e^n}{n^n} \frac{e^a}{2 \sqrt{2 \pi n}} \geqslant \frac{e^n}{n^n}.$$
Ainsi, on a montré que, si $n \geqslant 0$ et $e^a \geqslant 2 \sqrt{2 \pi n}$, alors
$$\sum_{k=n}^\infty \frac{a^k}{k!} \leqslant \frac{a^ne^a}{n!}.$$
Reste le cas $e^a < 2 \sqrt{2 \pi n}$.

On peut aussi utiliser l'égalité de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n-1$ à la fonction $f:x\mapsto e^x$ sur $[0,a]$.
Ainsi : \[\sum_{k=n}^{+\infty}a^k/k! = e^a-\sum_{k=0}^{n-1}a^k/k! =\int_0^a \frac{e^t (a-t)^{n-1}}{(n-1)!}dt\leq e^a\int_0^a \frac{ (a-t)^{n-1}}{(n-1)!}dt=e^a\frac{a^n}{n!}\]