Équivalent difficile

Bonjour,

Ce genre d'exercice n'est pas si facile. Tu as plein de variantes du genre trouver un équivalent de $\sum x^{n^2}$ lorsque $x \to 1$, etc.

A mon avis il y a plusieurs méthodes : la première est de multiplier par $1-x$ et de calculer les sommes partielles ... la deuxième idée est "bêtement" une comparaison série intégrale, de mémoire ça marche assez bien : pour mon exemple, $\int_1^{\infty}x^{t^2}dt$ s'estime bien.

Il y a une autre méthode qui consiste à utiliser le fait que si $x_n \sim y_n>0$, $\sum y_n$ diverge alors $\sum x_n x^n \sim \sum y_nx^n$ lorsque $x\to 1$. Cette conclusion fonctionne aussi si $\sum_{k \leqslant n} x_k \sim \sum_{k \leqslant n}y_n$ et de mémoire c'est ce qu'on utilise souvent. Dans ton cas si $\sum x^{n!}=\sum x_nx^n$ on a $X_n := \sum_{k\leqslant n} x_k \simeq \log n! \sim n \log n \sim \sum_{k<n} \log k$ et donc ton équivalent est celui de $\sum log(n)x^n$ lorsque $x \to 1$ et ensuite continue de travailler là dessus.

Enfin j'ai vu passé une méthode vraiment pas mal, que BobbyJoe et Siméon ont posté il y a quelques semaines, si je retrouve ça je le mettrai ici. [Update : Siméon a déjà donné le lien !]

Tiens nous au courant.

Je me demande si c’était pas un exos de la rubrique Questions & Réponses de la RMS revue de mathématiques spéciales

@BobbyJoe peux-tu me dire c’est quel volume de la RMS ? Année ?
Merci