Distraction anti confinement
Bonjour,
1- Montrer qu'il existe une fonction non constante de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ qui envoie tout intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ en un intervalle fermé de $\mathbb{R}$.
2- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x -y \right |^2 , \;\; \forall x, y \in \mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est constante.
3- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue vérifiant $f \big( x+\frac{1}{n} \big) =f(x),\quad \forall x\in \mathbb{R},\ \forall n\in \mathbb{N^*}$. Montrer que $f$ est constante.
[size=x-large]episode 2[/size]
4- Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\{\frac{f(x)}x, x\in \mathbb{R^*} \}$ est un ensemble fini $\iff f$ est l’identité de $\mathbb{R}$
5-Existe-t-il une fonction $f: \mathbb{N^*}\to \mathbb{N^*}$ telle que $f(f(n))=n+2021$ ( si on a la chance de rester envie jusqu'a 2021)
6-Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\forall x\in \mathbb{R}, \forall r\in \mathbb{Q} \quad |f(x)-f(r)|\leq (2020) |x-r|^2\quad \iff f$ est constante
1- Montrer qu'il existe une fonction non constante de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ qui envoie tout intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ en un intervalle fermé de $\mathbb{R}$.
2- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x -y \right |^2 , \;\; \forall x, y \in \mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est constante.
3- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue vérifiant $f \big( x+\frac{1}{n} \big) =f(x),\quad \forall x\in \mathbb{R},\ \forall n\in \mathbb{N^*}$. Montrer que $f$ est constante.
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4- Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\{\frac{f(x)}x, x\in \mathbb{R^*} \}$ est un ensemble fini $\iff f$ est l’identité de $\mathbb{R}$
5-Existe-t-il une fonction $f: \mathbb{N^*}\to \mathbb{N^*}$ telle que $f(f(n))=n+2021$ ( si on a la chance de rester envie jusqu'a 2021)
6-Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\forall x\in \mathbb{R}, \forall r\in \mathbb{Q} \quad |f(x)-f(r)|\leq (2020) |x-r|^2\quad \iff f$ est constante
Le 😄 Farceur
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Réponses
Le fait qu’elle soit non constante est évident, non ?
Par contre, le fait qu’elle existe, je ne sais pas encore le faire.
3 - La fonction $f$ étant continue, le groupe de ses périodes est fermé. L'hypothèse $ \forall x\in \mathbb{R},\forall n\in \mathbb{N^*},f \left( x+\frac{1}{n} \right) =f(x)$ implique que tous les rationnels sont des périodes de $f$. Etc.
Excellente idée de nous distraire dans notre confinement. Bravo Gebrane.
Par contre, je ne vois pas pour la question 1.
Bonne soirée.
Fr. Ch..
Avec cette contrainte, je cherche, mais j'en suis à douter de l'énoncé.
1. Il existe une fonction telle que l'image par cette fonction de tout intervalle non trivial est $\mathbb R$ (la fonction de Conway en base 13, par exemple, il y a un article Wikipédia dessus). Une telle fonction convient.
voici la version anglaise
le 3) reste vrai si on remplace continue par continue en $0$.
J’ai commis une crasse confusion.
Soit $x\in \mathbb{R}$.
- Si le développement (propre, mais peu importe) de $x$ en base 3 contient un nombre de chiffres 2 infini ou inférieur à deux, on pose $f(x)=0$.
- Sinon, notons $x=\overline{\cdots ,\cdots 2 b_{1} \cdots b_{k} 2 c_{1} c_{2} \cdots }^{3}$ le développement de $x$ en base 3 de façon à ce que les $b_{i}$ et $c_{j}$ soient des 0 ou des 1 (la place de la virgule n'a aucune importance).
- S'il y a un nombre pair de chiffres 2 dans ce développement, on pose $f(x) = \overline{b_{1} \cdots b_{k} , c_{1} c_{2} \cdots }^{2}$ en base 2.
- Sinon, on pose $f(x) = - \overline{b_{1} \cdots b_{k} , c_{1} c_{2} \cdots }^{2}$.
$f$ convient car tout intervalle $I$ contient tous les nombres de la forme $\overline{a_{-n} a_{-n+1} \cdots a_{0} ,a_{1} \cdots a_{m} \cdots }^{3}$ pour un certain uplet $(a_{-n} ,\dots ,a_{m} )$.Un mérite de la fonction de Conway c'est son caractère explicite, mais on peut aussi définir, disons virtuellement, une fonction qui a la même propriété.
Une application $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est dite additive si : $ \forall x \in \mathbb R, \forall y \in \mathbb R, f(x+y)=f(x)+f(y)$. C'est l'équation fonctionnelle de Cauchy-linéaire, la mère de toutes les équations fonctionnelles. On montre sans grand mal que pour une telle application additive $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, l'image de tout intervalle non trivial est $\mathbb R$ tout entier si et seulement si $f$ est surjective et non injective. On peut définir une telle fonction au moyen d'une base de Hamel de $\mathbb R$ comme $\mathbb Q$-espace vectoriel.
On en a parlé sur ce forum il y a sept ans, durant le bel été 2013.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,813002#msg-813002
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,821635#msg-821635
Bonne journée.
Fr. Ch.
$f(x)=x \sin (\dfrac{\pi}{x})$
Donc pour $x \ne 0$ on a $\dfrac{f(x)-f(x)}{x-0} = \sin (\dfrac{\pi}{x}) $
Posons $g(x)=\sin (\dfrac{\pi}{x})$
Elle n'est pas dérivable, prenons les suites extraites $u_n= \dfrac{1}{n} \longrightarrow 0$ et $u_n= \dfrac{1}{2n+\frac{1}{2}} \longrightarrow 0$
On a $g(u_n)= \sin (n \pi)=0$ alors que $g(v_n) = \sin (2n \pi + \dfrac{\pi}{2}) = \cos (2n \pi ) = 1 \ne 0$
Oui et je suis très fier de mon coup. :-D Après, c'est pas comme si ça trivialisait la réponse, non plus.
Si tu veux obtenir un "vrai" intervalle fermé, je n'ai qu'à poser $g(x) = \max(-1,\min(1,f(x)))$ où $f$ est la fonction de Conway. Mais là j'ai le sentiment d'avoir encore plus triché. X:-(
\[
\forall x\in \mathbb R,\quad f(x) = \limsup_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=1}^n (\lfloor 2^k x\rfloor - 2\lfloor 2^{k-1} x\rfloor).
\]
Autrement dit, $f(x)$ est essentiellement « la proportion » de chiffres $1$ dans le développement dyadique de $x$.
vous souhaitant une bonne santé, une solution proposée pour le 1 source : http://pathtomathematics.blogspot.com/2015/12/functions-mapping-open-interval-to.html
Supposons $f$ non constante, il existe alors $x$ tel que $f(x) \neq 0$. Il existe de plus un réel $y$ tel que $f(x) \neq f(y)$ et $0\notin f([x;y])$ (cela vient de la continuité de $f$). D'après le théorème des accroissements finis il existe $c \in[x;y]$ tel que $f'(c) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \neq 0$ et puisque $0\notin f([x;y])$ on en déduit que $f(c) \neq 0$.
Les seules fonctions vérifiant la condition sont donc les fonctions constantes.
On peut aussi dire que, s'il existe $x$ tel que $f(x) \neq 0$, alors la composante connexe de $f^{-1}(\mathbb{R}^*)$ contenant $x$ est intervalle $I$ ouvert sur lequel la dérivée s'annule, donc $f_{|I}$ est constante. Or $I$ vaut forcément $\Bbb R$, car sinon $f_{|I}=0$. Donc $f$ est constante sur $\Bbb R$ en toutes circonstances.
@Math Coss
Pourriez vous développer ? Je ne comprends pas à partir du théorème des accroissements finis.
Chaurien vous auriez la correction donnée à vos anciens étudiants ?
Si $C=0$ alors $f$ est la constante nulle.
Si $C>0 $, alors $ f(x)= \pm \sqrt C$ pour tout $x \in \mathbb R$.
Premier cas, si $ f(x_0)=\sqrt C >0$ pour un $x_0 \in \mathbb R$ alors $f(x)$ ne peut être égal à $ -\sqrt C$ pour aucun $x \in \mathbb R$ parce que la fonction continue $f$ satisfait toujours à la propriété des valeurs intermédiaires et devrait donc s'annuler.
Second cas, $ f(x_0)=-\sqrt C$ pour tout $x \in \mathbb R$.
La fonction $f$ est constante dans les deux cas.
En fait, ceci se généralise aux fonctions à valeurs complexes parce que l'image de $ \mathbb R$ par une fonction continue est connexe par arcs et ne saurait donc être constituée d'une paire de points distincts. Ceci a été dit plus haut, me semble-t-il.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Si oui, ce que je dis c'est que il existe un point $c\in [x;y]$ tel que $f'(c) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ par le théorème des accroissements finis. On a donc $f'(c)\neq 0$ puisque $f(y)\neq f(x)$, de plus $f(c) \neq 0$ car $c\in [x;y]$ et $0\notin f([x;y])$. On a donc trouvé un point $c$ tel que $f(c)\neq 0 $ et $f'(c) \neq 0$. On a donc montré que pour tout fonction dérivable non constante il existe un point $c$ pour lequel $f(c) \neq 0$ et $f'(c)\neq 0$. Par contraposée, un fonction vérifiant pour tout $x$ réel $f(x)=0$ ou $f'(x)=0$ est nécessairement constante. On voit de plus facilement que toutes les fonctions constantes vérifient bien cette condition (puisque leur dérivée est identiquement nulle). Les fonctions de la question de Chaurien sont donc exactement les fonctions constantes.
Corto je n'avais pas compris que $0 \notin f([x,y])$ mais je viens de comprendre. $f(c) \ne 0$ et $f$ continue en $c$ donc $\lim_c f \ne 0$ donc $f$ est non nulle au voisinage de $c$, voisinage que l'on peut noter $[x,y]$.
( ce n'est ni un défi, ni une compétition, ni un devoir à rendre, c'est seulement pour se distraire)
[size=x-large]episode 2[/size]
4- Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application telle que $\forall x\in \mathbb {R}, f(x - 1 - f(x)) = f(x) - x - 1 .$ Démontrer que
$\{\frac{f(x)}x, x\in \mathbb{R^*} \}$ est un ensemble fini $\iff f$ est l’identité de $\mathbb{R}$
5-Existe-t-il une fonction $f: \mathbb{N^*}\to \mathbb{N^*}$ telle que $f(f(n))=n+2021$ ( si on a la chance de rester en vie jusqu'a 2021)
6-Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\forall x\in \mathbb{R}, \forall r\in \mathbb{Q} \quad |f(x)-f(r)|\leq (2020) |x-r|^2\quad \iff f$ est constante
Pour la 4), que penses-tu de $f : x \mapsto |x|$ ?
Pour le 4), ne voulais-tu pas dire que $f$ est continue et qu'alors ce soit être un multiple de l'identité ? edit : Corto donne aussi un contre-exemple pour ça.
Pour le 5), je propose de plutôt classifier les fonctions d'un ensemble vers lui-même qui peuvent s'écrire comme la composée d'une fonction avec elle-même (i.e. quels sont les carrés du monoïde des endomorphismes d'un ensemble). Est-ce faisable ?
merci corto
@ Champ-Pot-Lion le f ne peut exister ! pour la 5
Tu n'as pas compris le but! tu me, tu nous gâche le plaisir de débattre des idées pour trouver des éléments de solutions. Presque aucune question ne résiste à ce Forum.. ( cette liste m' a été envoyé par un membre de mon groupe uniquement que pour le plaisir et se distraire face au confinement)
Je me demandais depuis longtemps quel logiciel de traitement de texte générait ces documents, tu viens de m'apprendre quelque chose. Tu arrives toujours à faire fonctionner ChiWriter aujourd'hui ? J'ai lu qu'il générait des fichiers PS.